Упр.11.13 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Определите, при каких значениях параметра $$a$$ система уравнений
$$\begin{cases} x^2+y^2=2(1+a),\\ (x+y)^2=14 \end{cases}$$
имеет ровно два решения.

Из второго уравнения системы получаем:

$$(x+y)^2=14 \\ x^2+2xy+y^2=14.$$

Так как из первого уравнения

$$x^2+y^2=2(1+a),$$

то

$$2(1+a)+2xy=14,$$

откуда

$$2xy=12-2a,\qquad xy=6-a.$$

Тогда

$$y=\frac{6-a}{x}\qquad (x\ne 0).$$

Подставим в первое уравнение:

$$x^2+\left(\frac{6-a}{x}\right)^2=2(1+a).$$

Умножим на $$x^2$$:

$$x^4-2(1+a)x^2+(6-a)^2=0.$$

Обозначим $$t=x^2$$. Тогда

$$t^2-2(1+a)t+(6-a)^2=0.$$

Чтобы система имела ровно два решения, уравнение относительно $$t$$ должно иметь единственный положительный корень, то есть его дискриминант должен быть равен нулю:

$$D=[-2(1+a)]^2-4(6-a)^2=0.$$

Тогда

$$4(1+a)^2-4(6-a)^2=0,$$

$$(1+a)^2=(6-a)^2.$$

Отсюда

$$1+a=6-a \quad \text{или} \quad 1+a=-(6-a).$$

Первое равенство даёт

$$2a=5,\qquad a=\frac52.$$

Второе равенство приводит к противоречию:

$$1=-6.$$

Значит, подходит только значение

$$a=\frac52.$$

Ответ

$$a=\frac52$$