Упр.11.13 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 11.13. Определите, при каких значениях параметра a система уравнений {(x^2+y^2=2(1+a), (x+y)^2=14) имеет ровно два решения.

Подробный ответ

Из второго уравнения системы получаем:

$$ (x+y)^2=14 \\ x^2+2xy+y^2=14. $$

Так как из первого уравнения

$$ x^2+y^2=2(1+a), $$

то

$$ 2(1+a)+2xy=14, $$

откуда

$$ 2xy=12-2a,\qquad xy=6-a. $$

Тогда

$$ y=\frac{6-a}{x}\qquad (x\ne 0). $$

Подставим в первое уравнение:

$$ x^2+\left(\frac{6-a}{x}\right)^2=2(1+a). $$

Умножим на $$x^2$$:

$$ x^4-2(1+a)x^2+(6-a)^2=0. $$

Обозначим $$t=x^2$$. Тогда

$$ t^2-2(1+a)t+(6-a)^2=0. $$

Чтобы система имела ровно два решения, уравнение относительно $$t$$ должно иметь единственный положительный корень, то есть его дискриминант должен быть равен нулю:

$$ D=[-2(1+a)]^2-4(6-a)^2=0. $$

Тогда

$$ 4(1+a)^2-4(6-a)^2=0, $$

$$ (1+a)^2=(6-a)^2. $$

Отсюда

$$ 1+a=6-a \quad \text{или} \quad 1+a=-(6-a). $$

Первое равенство даёт

$$ 2a=5,\qquad a=\frac52. $$

Второе равенство приводит к противоречию:

$$ 1=-6. $$

Значит, подходит только значение

$$ a=\frac52. $$