Упр.11.12 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 11.12. Найдите все значения параметра b, при которых система уравнений {(3x+y=a, ax-y=b) при любых значениях параметра a имеет хотя бы одно решение.

Преобразуем уравнения системы к виду с угловыми коэффициентами:

$$ \begin{cases} 3x+y=a,\\ ax-y=b \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad \begin{cases} y=-3x+a,\\ y=ax-b. \end{cases} $$

Чтобы система имела хотя бы одно решение при любых значениях параметра $$a$$, прямые должны либо пересекаться, либо совпадать. Единственный случай, когда решений нет, — если прямые параллельны и не совпадают.

Условие параллельности:

$$ -3=a. $$

Тогда обе прямые имеют одинаковый угловой коэффициент. Чтобы они совпадали, должны совпасть и свободные члены:

$$ a=-3,\qquad a=-b. $$

Отсюда

$$ -b=-3 \quad \Longrightarrow \quad b=3. $$

При $$b=3$$ система имеет решение при любом $$a$$.

Ответ

$$b=3$$