Упр.11.12 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Найдите все значения параметра $$b$$, при которых система уравнений $$\begin{cases}3x+y=a,\\ ax-y=b\end{cases}$$ при любых значениях параметра $$a$$ имеет хотя бы одно решение.

Преобразуем уравнения системы к виду с угловыми коэффициентами:

$$\begin{cases} 3x+y=a,\\ ax-y=b \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad \begin{cases} y=-3x+a,\\ y=ax-b. \end{cases}$$

Чтобы система имела хотя бы одно решение при любых значениях параметра $$a$$, прямые должны либо пересекаться, либо совпадать. Единственный случай, когда решений нет, — если прямые параллельны и не совпадают.

Условие параллельности:

$$-3=a.$$

Тогда обе прямые имеют одинаковый угловой коэффициент. Чтобы они совпадали, должны совпасть и свободные члены:

$$a=-3,\qquad a=-b.$$

Отсюда

$$-b=-3 \quad \Longrightarrow \quad b=3.$$

При $$b=3$$ система имеет решение при любом $$a$$.

Ответ

$$b=3$$