Упр.11.10 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 11.10. При каких значениях параметра a система уравнений {((a-2)x+27y=4,5, 2x+(a+1)y=-1) имеет бесконечно много решений?

Чтобы система имела бесконечно много решений, её уравнения должны задавать одну и ту же прямую. Значит, коэффициенты при переменных и свободные члены должны быть пропорциональны:

$$ \frac{a-2}{2}=\frac{27}{a+1}=\frac{4,5}{-1} $$

Сначала найдём условие параллельности прямых:

$$ \frac{a-2}{2}=\frac{27}{a+1} $$

$$ (a-2)(a+1)=54 $$

$$ a^2-a-2=54 $$

$$ a^2-a-56=0 $$

$$ D=1+224=225 $$

$$ a_{1,2}=\frac{1\pm 15}{2} $$

$$ a_1=-7,\quad a_2=8 $$

Проверим условие совпадения прямых.

При $$a=-7$$:

$$ \frac{4,5}{-1}=\frac{a-2}{2}=\frac{-9}{2} $$

$$ \frac{27}{a+1}=\frac{27}{-6}=-\frac{9}{2} $$

Все отношения равны, значит, прямые совпадают.

При $$a=8$$:

$$ \frac{a-2}{2}=3,\qquad \frac{27}{a+1}=3,\qquad \frac{4,5}{-1}=-4,5 $$

Отношения не совпадают, поэтому бесконечно много решений система не имеет.

Ответ

$$a=-7$$