Упр.11.10 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$ система уравнений $$\begin{cases}(a-2)x+27y=4{,}5,\\2x+(a+1)y=-1\end{cases}$$ имеет бесконечно много решений?

Чтобы система имела бесконечно много решений, её уравнения должны задавать одну и ту же прямую. Значит, коэффициенты при переменных и свободные члены должны быть пропорциональны:

$$\frac{a-2}{2}=\frac{27}{a+1}=\frac{4,5}{-1}$$

Сначала найдём условие параллельности прямых:

$$\frac{a-2}{2}=\frac{27}{a+1}$$

$$(a-2)(a+1)=54$$

$$a^2-a-2=54$$

$$a^2-a-56=0$$

$$D=1+224=225$$

$$a_{1,2}=\frac{1\pm 15}{2}$$

$$a_1=-7,\quad a_2=8$$

Проверим условие совпадения прямых.

При $$a=-7$$:

$$\frac{4,5}{-1}=\frac{a-2}{2}=\frac{-9}{2}$$

$$\frac{27}{a+1}=\frac{27}{-6}=-\frac{9}{2}$$

Все отношения равны, значит, прямые совпадают.

При $$a=8$$:

$$\frac{a-2}{2}=3,\qquad \frac{27}{a+1}=3,\qquad \frac{4,5}{-1}=-4,5$$

Отношения не совпадают, поэтому бесконечно много решений система не имеет.

Ответ

$$a=-7$$