Упр.11.1 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Решите графически систему уравнений:
   1) $$\begin{cases}x^2+y^2=4,\\x+y=2;\end{cases}$$
   2) $$\begin{cases}x^2+y^2=25,\\xy=-12;\end{cases}$$
   3) $$\begin{cases}x=y^2-2y,\\x+y=2.\end{cases}$$

1. $$\begin{cases} x^2+y^2=4,\\ x+y=2. \end{cases}$$

   Первое уравнение задаёт окружность с центром в начале координат и радиусом $$2$$. Второе уравнение можно записать так: $$y=2-x$$.

   Подставим $$y=2-x$$ в уравнение окружности:

   $$x^2+(2-x)^2=4$$

   $$x^2+4-4x+x^2=4$$

   $$2x^2-4x=0$$

   $$2x(x-2)=0$$

   Отсюда $$x=0$$ или $$x=2$$.

   Тогда $$y=2-x$$: при $$x=0$$ получаем $$y=2$$, при $$x=2$$ получаем $$y=0$$.

2. $$\begin{cases} x^2+y^2=25,\\ xy=-12. \end{cases}$$

   Из второго уравнения выразим $$y$$:

   $$y=-\frac{12}{x}, \quad x\ne 0.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$x^2+\left(-\frac{12}{x}\right)^2=25$$

   $$x^2+\frac{144}{x^2}=25$$

   Умножим на $$x^2$$:

   $$x^4-25x^2+144=0$$

   Обозначим $$t=x^2$$. Тогда:

   $$t^2-25t+144=0$$

   $$(t-9)(t-16)=0$$

   Значит, $$t=9$$ или $$t=16$$, то есть $$x^2=9$$ или $$x^2=16$$.

   Тогда $$x=\pm 3$$ или $$x=\pm 4$$. Находим соответствующие значения $$y$$ из $$xy=-12$$:

   $$(3,-4),\;(-3,4),\;(4,-3),\;(-4,3).$$

3. $$\begin{cases} x=y^2-2y,\\ x+y=2. \end{cases}$$

   Из второго уравнения получаем $$x=2-y$$. Подставим в первое:

   $$2-y=y^2-2y$$

   $$y^2-y-2=0$$

   $$(y-2)(y+1)=0$$

   Отсюда $$y=2$$ или $$y=-1$$.

   Тогда при $$y=2$$ имеем $$x=0$$, а при $$y=-1$$ имеем $$x=3$$.

Ответ

1) $$(0; 2),\ (2; 0).$$

2) $$(-4; 3),\ (-3; 4),\ (3; -4),\ (4; -3).$$

3) $$(0; 2),\ (3; -1).$$