Упр.11.1 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {(x^2+y^2=4, x+y=2);
2) {(x^2+y^2=25, xy=-12);
3) {(x=y^2-2y, x+y=2).

Подробный ответ

$$ \begin{cases} x^2+y^2=4,\\ x+y=2. \end{cases} $$
Первое уравнение задаёт окружность с центром в начале координат и радиусом $$2$$. Второе уравнение можно записать так: $$y=2-x$$.
Подставим $$y=2-x$$ в уравнение окружности:
$$ x^2+(2-x)^2=4 $$
$$ x^2+4-4x+x^2=4 $$
$$ 2x^2-4x=0 $$
$$ 2x(x-2)=0 $$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=2$$.
Тогда $$y=2-x$$: при $$x=0$$ получаем $$y=2$$, при $$x=2$$ получаем $$y=0$$.
$$ \begin{cases} x^2+y^2=25,\\ xy=-12. \end{cases} $$
Из второго уравнения выразим $$y$$:
$$ y=-\frac{12}{x}, \quad x\ne 0. $$
Подставим в первое уравнение:
$$ x^2+\left(-\frac{12}{x}\right)^2=25 $$
$$ x^2+\frac{144}{x^2}=25 $$
Умножим на $$x^2$$:
$$ x^4-25x^2+144=0 $$
Обозначим $$t=x^2$$. Тогда:
$$ t^2-25t+144=0 $$
$$ (t-9)(t-16)=0 $$
Значит, $$t=9$$ или $$t=16$$, то есть $$x^2=9$$ или $$x^2=16$$.
Тогда $$x=\pm 3$$ или $$x=\pm 4$$. Находим соответствующие значения $$y$$ из $$xy=-12$$:
$$ (3,-4),\;(-3,4),\;(4,-3),\;(-4,3). $$
$$ \begin{cases} x=y^2-2y,\\ x+y=2. \end{cases} $$
Из второго уравнения получаем $$x=2-y$$. Подставим в первое:
$$ 2-y=y^2-2y $$
$$ y^2-y-2=0 $$
$$ (y-2)(y+1)=0 $$
Отсюда $$y=2$$ или $$y=-1$$.
Тогда при $$y=2$$ имеем $$x=0$$, а при $$y=-1$$ имеем $$x=3$$.