Упр.10.29 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее значение выражения $$x^2+y^2$$, если $$|x+3|+|y|=1$$.

Положим $$a=x^2+y^2.$$ Тогда нужно найти наименьшее значение $$a$$ при условии

$$|x+3|+|y|=1.$$

Это означает, что точка $$(x,y)$$ лежит на ромбе с центром в точке $$(-3,0)$$ и вершинами $$(-4,0),\,(-2,0),\,(-3,1),\,(-3,-1).$$

Ищем наименьшее значение $$x^2+y^2$$, то есть квадрат расстояния от начала координат до точки ромба. Минимум достигается в точке ромба, ближайшей к началу координат. Ближайшая точка — $$(-2,0)$$.

Тогда

$$x^2+y^2=(-2)^2+0^2=4.$$

Проверим: $$|{-2}+3|+|0|=1,$$ условие выполняется.

Ответ

$$4$$