Упр.10.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Найдите наименьшее значение выражения $$|x|+|y|$$, если $$x^2+(y-4)^2=1$$.

Рассмотрим окружность $$x^2+(y-4)^2=1.$$ Её центр: $$O(0;4),$$ радиус: $$R=1.$$

Обозначим $$a=|x|+|y|.$$ Тогда $$|y|=a-|x|,$$ и график уравнения $$|x|+|y|=a$$ — ромб с вершинами $$(-a,0),\ (a,0),\ (0,-a),\ (0,a).$$

Нужно найти наименьшее значение $$a,$$ при котором этот ромб касается окружности $$x^2+(y-4)^2=1.$$

Так как окружность расположена выше оси $$Ox,$$ а ромб при малых $$a$$ поднимается до точки $$(0,a),$$ касание впервые произойдёт в верхней точке окружности $$(0,5).$$

Для этой точки имеем:

$$|x|+|y|=|0|+|5|=5.$$

Но при меньшем значении ромб ещё не достигнет окружности. Проверим расстояние от начала координат до ближайшей точки окружности по направлению к ромбу: нижняя точка окружности имеет координаты $$(0,3),$$ и для неё

$$|x|+|y|=|0|+|3|=3.$$

Это и есть наименьшее значение выражения на данной окружности.

Ответ

$$3$$