Упр.10.25 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 10.25. Постройте график уравнения v(1-x^2)+v(1-y^2)=2-x^2-y^2.

Обозначим

$$a=\sqrt{1-x^2}, \qquad b=\sqrt{1-y^2}.$$

Тогда $$0\le a\le 1,$$ $$0\le b\le 1.$$

Для любого числа $$t\in[0,1]$$ верно неравенство

$$\sqrt{t}\ge t,$$

значит

$$\sqrt{1-x^2}\ge 1-x^2, \qquad \sqrt{1-y^2}\ge 1-y^2.$$

Складывая, получаем

$$\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}\ge 2-x^2-y^2.$$

Равенство возможно только тогда, когда одновременно

$$1-x^2\in\{0,1\}, \qquad 1-y^2\in\{0,1\}.$$

То есть

$$x\in\{-1,0,1\}, \qquad y\in\{-1,0,1\}.$$

Следовательно, график уравнения состоит из всех точек с координатами $$x$$ и $$y$$ из множества $$\{-1,0,1\}.$$

Это 9 точек:

$$(-1,-1),\ (-1,0),\ (-1,1),\ (0,-1),\ (0,0),\ (0,1),\ (1,-1),\ (1,0),\ (1,1).$$

Ответ

График — девять точек $$(-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,0), (1,1).$$