Упр.10.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 10.23. Постройте график уравнения (x^4+1)(y^4+1)=4x^2 y^2.

Рассмотрим неравенство

$$t^4-2t^2+1=(t^2-1)^2\ge 0.$$

Отсюда

$$t^4+1\ge 2t^2.$$

Применим это к $x$ и $y$:

$$x^4+1\ge 2x^2,\qquad y^4+1\ge 2y^2.$$

Перемножим неравенства:

$$ (x^4+1)(y^4+1)\ge 4x^2y^2.$$

Значит, уравнение

$$ (x^4+1)(y^4+1)=4x^2y^2 $$

выполняется тогда и только тогда, когда одновременно

$$x^4+1=2x^2,\qquad y^4+1=2y^2.$$

Решим каждое из них:

$$x^4-2x^2+1=0 \Rightarrow (x^2-1)^2=0 \Rightarrow x=\pm 1,$$

$$y^4-2y^2+1=0 \Rightarrow (y^2-1)^2=0 \Rightarrow y=\pm 1.$$

Следовательно, график уравнения состоит из четырёх точек:

$$(-1,1),\ (1,1),\ (-1,-1),\ (1,-1).$$

Ответ

График — четыре точки $$(-1,1),\ (1,1),\ (-1,-1),\ (1,-1).$$