Упр.10.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 10.22. При каких значениях параметра a уравнение ax+v(-5-x^2-6x)=2 имеет два корня?

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение

$$ax+\sqrt{-5-x^2-6x}=2.$$

Преобразуем корень:

$$-5-x^2-6x=4-(x+3)^2,$$

тогда

$$ax+\sqrt{4-(x+3)^2}=2.$$

Обозначим

$$y=ax.$$

Тогда нужно найти, при каких значениях параметра $a$ прямая $$y=ax$$ пересекает график функции

$$y=2-\sqrt{4-(x+3)^2}.$$

График этой функции — нижняя полуокружность окружности

$$ (x+3)^2+(y-2)^2=4, \quad y\le 2.$$

Чтобы уравнение имело два корня, прямая $$y=ax$$ должна пересекать эту полуокружность в двух точках.

Рассмотрим предельные положения прямой.

1) При $$a=0$$ получаем прямую $$y=0$$, которая касается полуокружности в точке $$(-3,0)$$, то есть корень один.

2) При увеличении углового коэффициента прямая поворачивается против часовой стрелки. Два пересечения сохраняются, пока прямая не станет касательной к полуокружности в другой предельной точке.

Найдём значение $a$ для касания. Подставим $$y=ax$$ в уравнение окружности:

$$ (x+3)^2+(ax-2)^2=4.$$

Раскроем скобки:

$$x^2+6x+9+a^2x^2-4ax+4=4,$$

$$ (1+a^2)x^2+(6-4a)x+9=0.$$

Для касания дискриминант равен нулю:

$$D=(6-4a)^2-4(1+a^2)\cdot 9=0.$$

$$36-48a+16a^2-36-36a^2=0,$$

$$-20a^2-48a=0,$$

$$4a(5a+12)=0.$$

Отсюда

$$a=0 \quad \text{или} \quad a=-\frac{12}{5}.$$