Упр.10.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$ax-1=v(8x-x^2-15)$$ имеет единственное решение?

Подробный ответ

Обозначим $$y=ax.$$ Тогда исходное уравнение примет вид

$$y-1=\sqrt{8x-x^2-15}.$$

Перенесём всё в координатную плоскость: это система

$$\begin{cases} y=ax,\\ y-1=\sqrt{8x-x^2-15}. \end{cases}$$

Второе уравнение преобразуем:

$$y-1\ge 0,$$

$$(y-1)^2=8x-x^2-15,$$

$$x^2-8x+(y-1)^2+16=1,$$

$$(x-4)^2+(y-1)^2=1,\quad y\ge 1.$$

Значит, нужно найти, при каких значениях $$a$$ прямая $$y=ax$$ имеет с верхней полуокружностью окружности $$(x-4)^2+(y-1)^2=1$$ ровно одну общую точку.

Подставим $$y=ax$$ в уравнение окружности:

$$(x-4)^2+(ax-1)^2=1.$$

Раскроем скобки:

$$x^2-8x+16+a^2x^2-2ax+1=1,$$

$$(a^2+1)x^2-(2a+8)x+16=0.$$

Чтобы прямая пересекала окружность в одной точке, это квадратное уравнение должно иметь единственный корень, то есть его дискриминант равен нулю:

$$D=(2a+8)^2-4\cdot (a^2+1)\cdot 16.$$

$$D=4a^2+32a+64-64a^2-64=32a-60a^2.$$

$$32a-60a^2=0,$$

$$4a(8-15a)=0.$$

Отсюда

$$a=0 \quad \text{или} \quad a=\frac{8}{15}.$$

При $$a=0$$ получаем прямую $$y=0$$, а она не пересекает верхнюю полуокружность, так как для неё должно быть $$y\ge 1$$. Значит, этот случай не подходит.

Остаётся $$a=\frac{8}{15}$$. Кроме того, при этом наклоне прямая касается окружности, а значит, уравнение имеет единственное решение.

Проверим ещё случай, когда прямая проходит через точку касания верхней полуокружности при $$a=\frac13$$: тогда прямая касается окружности в точке $$\left(3,1\right)$$, и решение также единственное. Следовательно, подходят оба значения.