Упр.10.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 10.21. При каких значениях параметра a уравнение ax-1=v(8x-x^2-15) имеет единственное решение?

Подробный ответ

Обозначим $$y=ax.$$ Тогда исходное уравнение примет вид

$$y-1=\sqrt{8x-x^2-15}.$$

Перенесём всё в координатную плоскость: это система

$$ \begin{cases} y=ax,\\ y-1=\sqrt{8x-x^2-15}. \end{cases} $$

Второе уравнение преобразуем:

$$ y-1\ge 0, $$

$$ (y-1)^2=8x-x^2-15, $$

$$ x^2-8x+(y-1)^2+16=1, $$

$$ (x-4)^2+(y-1)^2=1,\quad y\ge 1. $$

Значит, нужно найти, при каких значениях $$a$$ прямая $$y=ax$$ имеет с верхней полуокружностью окружности $$ (x-4)^2+(y-1)^2=1 $$ ровно одну общую точку.

Подставим $$y=ax$$ в уравнение окружности:

$$ (x-4)^2+(ax-1)^2=1. $$

Раскроем скобки:

$$ x^2-8x+16+a^2x^2-2ax+1=1, $$

$$ (a^2+1)x^2-(2a+8)x+16=0. $$

Чтобы прямая пересекала окружность в одной точке, это квадратное уравнение должно иметь единственный корень, то есть его дискриминант равен нулю:

$$ D=(2a+8)^2-4\cdot (a^2+1)\cdot 16. $$

$$ D=4a^2+32a+64-64a^2-64=32a-60a^2. $$

$$ 32a-60a^2=0, $$

$$ 4a(8-15a)=0. $$

Отсюда

$$ a=0 \quad \text{или} \quad a=\frac{8}{15}. $$

При $$a=0$$ получаем прямую $$y=0$$, а она не пересекает верхнюю полуокружность, так как для неё должно быть $$y\ge 1$$. Значит, этот случай не подходит.

Остаётся $$a=\frac{8}{15}$$. Кроме того, при этом наклоне прямая касается окружности, а значит, уравнение имеет единственное решение.

Проверим ещё случай, когда прямая проходит через точку касания верхней полуокружности при $$a=\frac13$$: тогда прямая касается окружности в точке $$\left(3,1\right)$$, и решение также единственное. Следовательно, подходят оба значения.