Упр.10.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 10.20. Определите количество корней уравнения (4-x^2-a^2)(3a-x^2)=0 в зависимости от значения параметра a.

Рассмотрим уравнение

$$\left(4-x^2-a^2\right)\left(3a-x^2\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$4-x^2-a^2=0,$$

$$3a-x^2=0.$$

Из первого уравнения получаем

$$x^2=4-a^2.$$

Чтобы были действительные корни, нужно

$$4-a^2\ge 0 \quad \Rightarrow \quad -2\le a\le 2.$$

Тогда:

• при $$-2<a<2$$ первое уравнение даёт два корня, если $$a\ne \pm 2$$;
• при $$a=-2$$ получаем $$x^2=0$$, то есть один корень $$x=0$$;
• при $$a=2$$ также получаем один корень $$x=0$$.

Из второго уравнения имеем

$$x^2=3a.$$

Действительные корни существуют только при

$$a\ge 0.$$

Тогда:

• при $$a>0$$ это даёт два корня, если $$a\ne 0$$;
• при $$a=0$$ получаем один корень $$x=0$$.

Теперь рассмотрим количество различных корней уравнения в зависимости от параметра $$a$$.

• Если $$a<-2$$, то ни одно из уравнений действительных корней не имеет, значит, корней нет.
• Если $$a=-2$$, то первое уравнение даёт корень $$x=0$$, второе корней не имеет, значит, один корень.
• Если $$-2<a<0$$, то первое уравнение даёт два корня, второе корней не имеет, значит, два корня.
• Если $$a=0$$, то первое уравнение даёт два корня $$x=\pm 2$$, второе — корень $$x=0$$, всего три корня.
• Если $$0<a<2$$, то оба уравнения дают по два корня. Совпадение возможно только при
  $$4-a^2=3a,$$
  то есть
  $$a^2+3a-4=0,$$
  $$a=-4 \text{ или } a=1.$$
  С учётом $$0<a<2$$ подходит только $$a=1$$. Тогда корни совпадают, и всего получается два различных корня. При $$a\ne 1$$ — четыре корня.
• Если $$a=2$$, то первое уравнение даёт корень $$x=0$$, второе — два корня $$x=\pm\sqrt6$$, всего три корня.
• Если $$a>2$$, то первое уравнение корней не имеет, а второе даёт два корня, значит, два корня.

Ответ

$$ \begin{aligned} &\text{если } a<-2,\ \text{то корней нет};\\ &\text{если } a=-2,\ \text{то один корень};\\ &\text{если } -2<a<0,\ \text{то два корня};\\ &\text{если } a=0,\ \text{то три корня};\\ &\text{если } 0<a<2 \text{ и } a\ne 1,\ \text{то четыре корня};\\ &\text{если } a=1 \text{ или } a=2,\ \text{то три корня};\\ &\text{если } a>2,\ \text{то два корня}. \end{aligned} $$