Упр.10.2 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) x^2-6x+y^2+4y+13=0; 3) v(x-1)=v(-y^2 (y+1)^2);
2) x^2+2xy+10y^2-12y+4=0; 4) x^2+v(y^2+1)=1.

1. $$x^2-6x+y^2+4y+13=0$$

   Сгруппируем и дополним до квадратов:

   $$\left(x^2-6x+9\right)+\left(y^2+4y+4\right)=0$$

   $$\left(x-3\right)^2+\left(y+2\right)^2=0$$

   Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

   $$x-3=0,\quad y+2=0$$

   $$x=3,\quad y=-2$$

2. $$x^2+2xy+10y^2-12y+4=0$$

   Сгруппируем:

   $$\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(9y^2-12y+4\right)=0$$

   $$\left(x+y\right)^2+\left(3y-2\right)^2=0$$

   Тогда

   $$x+y=0,\quad 3y-2=0$$

   $$y=\frac{2}{3},\quad x=-\frac{2}{3}$$

3. $$\sqrt{x-1}=\sqrt{-y^2(y+1)^2}$$

   Подкоренное выражение справа неотрицательно только при

   $$-y^2(y+1)^2\ge 0$$

   Так как $$y^2(y+1)^2\ge 0$$, то возможно лишь

   $$-y^2(y+1)^2=0$$

   $$y(y+1)=0$$

   $$y=0 \quad \text{или} \quad y=-1$$

   Тогда правая часть равна нулю, значит

   $$\sqrt{x-1}=0$$

   $$x-1=0,\quad x=1$$

4. $$x^2+\sqrt{y^2+1}=1$$

   Перенесём корень:

   $$\sqrt{y^2+1}=1-x^2$$

   Левая часть неотрицательна, значит

   $$1-x^2\ge 0$$

   Кроме того, $$y^2+1\ge 1$$, поэтому

   $$\sqrt{y^2+1}\ge 1$$

   Следовательно, должно быть

   $$1-x^2=1$$

   $$x^2=0,\quad x=0$$

   Тогда

   $$\sqrt{y^2+1}=1$$

   $$y^2+1=1,\quad y=0$$

Ответ

1) $$(3;\,-2)$$; 2) $$\left(-\frac{2}{3};\,\frac{2}{3}\right)$$; 3) $$(1;\,-1),\ (1;\,0)$$; 4) $$(0;\,0)$$.