Упр.10.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 10.19. Определите количество корней уравнения (x^2+a^2-1)(a-x)=0 в зависимости от значения параметра a.

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение

$$\left(x^2+a^2-1\right)(a-x)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$x^2+a^2-1=0,$$

$$a-x=0 \quad \Rightarrow \quad x=a.$$

Из первого уравнения получаем

$$x^2=1-a^2.$$

Корни этого уравнения существуют тогда и только тогда, когда

$$1-a^2\ge 0 \quad \Rightarrow \quad |a|\le 1.$$

Тогда:

при $$|a|<1$$ уравнение $$x^2=1-a^2$$ имеет два корня;
при $$|a|=1$$ оно имеет один корень $$x=0$$;
при $$|a|>1$$ корней у первого уравнения нет.

Теперь проверим, когда корень $$x=a$$ совпадает с корнями первого уравнения:

$$a^2=1-a^2,$$

$$2a^2=1,$$

$$a^2=\frac12,$$

$$a=\pm \frac{\sqrt2}{2}.$$

Значит:

если $$|a|>1$$, то корень только один: $$x=a$$;
если $$|a|=1$$, то корень один: $$x=a$$, а из первого множителя получается $$x=0$$, поэтому всего два корня;
если $$|a|<1$$ и $$|a|\ne \frac{\sqrt2}{2}$$, то корней три;
если $$|a|=\frac{\sqrt2}{2}$$, то корень $$x=a$$ совпадает с одним из корней первого уравнения, поэтому всего два корня.