Упр.10.18 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) (x^2+y^2-1)/(|y|-1)=0; 3) (|x|+|y|-1)/(1-x^2-y^2)=0; 5) (y^2+y)/(x+y)=1;
2) (|x|-|y|)/(y-x^2)=0; 4) ((y^2-4)(y+x))/(x^2-1)=0; 6) (y^2-y)/(x^2-x)=1.

1. $$\frac{x^2+y^2-1}{|y|-1}=0$$

   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

   $$x^2+y^2-1=0,$$
   $$x^2+y^2=1,$$
   $$|y|-1\ne 0,\quad |y|\ne 1,\quad y\ne \pm 1.$$

   Это окружность $$x^2+y^2=1$$ без точек с ординатами $$y=\pm1$$.

2. $$\frac{|x|-|y|}{y-x^2}=0$$

   $$|x|-|y|=0,$$
   $$|x|=|y|,$$
   $$y-x^2\ne 0,\quad y\ne x^2.$$

   График состоит из двух прямых $$y=x$$ и $$y=-x$$, но точки, где $$y=x^2$$, исключаются. На этих прямых исключаются точки $$(-1,1)$$, $$(0,0)$$ и $$(1,1)$$.

3. $$\frac{|x|+|y|-1}{1-x^2-y^2}=0$$

   $$|x|+|y|-1=0,$$
   $$|x|+|y|=1,$$
   $$1-x^2-y^2\ne 0,\quad x^2+y^2\ne 1.$$

   Это ромб $$|x|+|y|=1$$ с вершинами $$(1,0)$$, $$(-1,0)$$, $$(0,1)$$, $$(0,-1)$$, но его вершины не входят в график, так как лежат на окружности $$x^2+y^2=1$$.

4. $$\frac{(y^2-4)(y+x)}{x^2-1}=0$$

   $$(y^2-4)(y+x)=0,$$
   $$(y+2)(y-2)(y+x)=0.$$

   Отсюда:

   $$y=-2,\quad y=2,\quad y=-x.$$

   При этом

   $$x^2-1\ne 0,\quad x\ne \pm1.$$

   Значит, график — две горизонтальные прямые $$y=2$$ и $$y=-2$$ и прямая $$y=-x$$, но на них нужно исключить точки с $$x=\pm1$$.

5. $$\frac{y^2+y}{x+y}=1$$

   $$y^2+y=x+y,$$
   $$y^2-x=0,$$
   $$x=y^2. $$

   Тогда

   $$x=y^2 \quad \Longleftrightarrow \quad y=\pm\sqrt{x}.$$

   Область определения:

   $$x+y\ne 0,\quad y\ne -x.$$

   Итак, график состоит из двух ветвей параболы $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=-\sqrt{x}$$, при этом точка $$(0,0)$$ не входит в решение.

6. $$\frac{y^2-y}{x^2-x}=1$$

   $$y^2-y=x^2-x,$$
   $$y^2-x^2=y-x,$$
   $$(y+x)(y-x)=y-x.$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$(y-x)(y+x-1)=0.$$

   Следовательно,

   $$y=x \quad \text{или} \quad y=1-x.$$

   Но

   $$x^2-x\ne 0,\quad x(x-1)\ne 0,\quad x\ne 0,\quad x\ne 1.$$

   Значит, график — две прямые $$y=x$$ и $$y=1-x$$ без точек с абсциссами $$0$$ и $$1$$.

Ответ

1) $$x^2+y^2=1,\ y\ne \pm1$$;
2) $$y=|x|,\ y\ne x^2$$;
3) $$|x|+|y|=1,\ x^2+y^2\ne 1$$;
4) $$y=2,\ y=-2,\ y=-x,\ x\ne \pm1$$;
5) $$x=y^2,\ x+y\ne 0$$;
6) $$y=x,\ y=1-x,\ x\ne 0,\ x\ne 1$$.