Упр.10.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Постройте график уравнения:

1. 1) $$\frac{y-x^2}{y-x}=0$$;
   2) $$\frac{(y^2-1)(y-x)}{x^2-4}=0$$;
   7) $$\frac{x^2-y^2}{\lvert x\rvert-\lvert y\rvert}=1$$;
   2) $$\frac{x^2+y^2-1}{\lvert x\rvert-1}=0$$;
   5) $$\frac{x^2-x}{y-x}=1$$;
   8) $$\frac{x^2+x}{y^2+y}=1$$;
   3) $$\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2-1}=0$$;
   6) $$\frac{3x^2+y^2-2}{x^2-y^2}=1$$;
   9) $$\frac{3\lvert x\rvert+\lvert y\rvert-2}{\lvert x\rvert-\lvert y\rvert}=1$$.

1. $$\frac{y-x^2}{y-x}=0$$

   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

   $$y-x^2=0, \qquad y-x\ne 0$$

   $$y=x^2,\qquad y\ne x.$$

   График — парабола $$y=x^2$$ без точки пересечения с прямой $$y=x$$, то есть без точки $$\left(0,0\right)$$ и без точки $$\left(1,1\right)$$.

2. $$\frac{x^2+y^2-1}{|x|-1}=0$$

   $$x^2+y^2-1=0, \qquad |x|-1\ne 0$$

   $$x^2+y^2=1,\qquad x\ne \pm 1.$$

   Это окружность с центром в начале координат и радиусом $$1$$ без точек $$(-1,0)$$ и $$(1,0)$$.

3. $$\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2-1}=0$$

   $$x^2-y^2=0, \qquad x^2+y^2-1\ne 0$$

   $$(x-y)(x+y)=0$$

   $$y=x \quad \text{или} \quad y=-x,$$

   при этом $$x^2+y^2\ne 1$$, то есть нужно исключить точки пересечения этих прямых с окружностью $$x^2+y^2=1$$.

4. $$\frac{(y^2-1)(y-x)}{x^2-4}=0$$

   $$(y^2-1)(y-x)=0, \qquad x^2-4\ne 0$$

   $$(y-1)(y+1)(y-x)=0$$

   $$y=1,\quad y=-1,\quad y=x,$$

   при этом $$x\ne \pm 2.$$

5. $$\frac{x^2-x}{y-x}=1$$

   $$x^2-x=y-x,\qquad y-x\ne 0$$

   $$y=x^2,\qquad y\ne x.$$

   График — парабола $$y=x^2$$ без точки $$\left(0,0\right)$$ и без точки $$\left(1,1\right)$$.

6. $$\frac{3x^2+y^2-2}{x^2-y^2}=1$$

   $$3x^2+y^2-2=x^2-y^2$$

   $$2x^2+2y^2=2$$

   $$x^2+y^2=1,$$

   при этом $$x^2-y^2\ne 0$$, то есть $$x\ne \pm y.$$

   Это окружность $$x^2+y^2=1$$ без точек пересечения с прямыми $$y=x$$ и $$y=-x$$.

7. $$\frac{x^2-y^2}{|x|-|y|}=1$$

   $$x^2-y^2=|x|-|y|,\qquad |x|-|y|\ne 0$$

   $$(x-y)(x+y)=|x|-|y|$$

   Удобно записать через модули:

   $$(|x|-|y|)(|x|+|y|)=|x|-|y|$$

   Отсюда:

   $$|x|-|y|=0 \quad \text{или} \quad |x|+|y|=1.$$

   С учётом области определения $$|x|\ne |y|$$ остаётся

   $$|x|+|y|=1.$$

8. $$\frac{x^2+x}{y^2+y}=1$$

   $$x^2+x=y^2+y,\qquad y^2+y\ne 0$$

   $$x^2-y^2=x-y$$

   $$(x-y)(x+y)=x-y$$

   $$(x-y)(x+y-1)=0$$

   Значит,

   $$x=y \quad \text{или} \quad x+y=1.$$

   Из области определения:

   $$y(y+1)\ne 0,\qquad y\ne 0,\ y\ne -1.$$

9. $$\frac{3|x|+|y|-2}{|x|-|y|}=1$$

   $$3|x|+|y|-2=|x|-|y|,\qquad |x|-|y|\ne 0$$

   $$2|x|+2|y|=2$$

   $$|x|+|y|=1,$$

   при этом $$|x|\ne |y|.$$

   График — ромб $$|x|+|y|=1$$ без точек, где $$|x|=|y|.$$

Ответ

1. $$y=x^2,\ y\ne x$$
2. $$x^2+y^2=1,\ x\ne \pm 1$$
3. $$y=x$$ или $$y=-x,$$ при $$x^2+y^2\ne 1$$
4. $$y=1,\ y=-1,\ y=x,\ x\ne \pm 2$$
5. $$y=x^2,\ y\ne x$$
6. $$x^2+y^2=1,\ x\ne \pm y$$
7. $$|x|+|y|=1,\ |x|\ne |y|$$
8. $$x=y$$ или $$x+y=1,\ y\ne 0,\ y\ne -1$$
9. $$|x|+|y|=1,\ |x|\ne |y|$$