Упр.10.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)
Постройте график уравнения:
- 1) $$x=\sqrt{1-y^2}$$; 3) $$|x+2|=\sqrt{1-y^2}$$; 5) $$x=\sqrt{4y-y^2}$$; 2) $$|x|=\sqrt{1-y^2}$$; 4) $$|x|+2=\sqrt{1-y^2}$$; 6) $$x=\sqrt{4|y|-y^2}$$.
$$x=\sqrt{1-y^2}$$
Так как $$x\ge 0$$, возведём в квадрат:
$$x^2=1-y^2$$
$$x^2+y^2=1$$
Это правая полуокружность окружности с центром в начале координат и радиусом $$1$$.
$$|x|=\sqrt{1-y^2}$$
Получаем:
$$x^2=1-y^2$$
$$x^2+y^2=1$$
Это вся окружность с центром в начале координат и радиусом $$1$$.
$$|x+2|=\sqrt{1-y^2}$$
Положим $$u=x+2$$. Тогда
$$|u|=\sqrt{1-y^2}$$
Значит,
$$u^2+y^2=1$$
$$(x+2)^2+y^2=1$$
Это окружность с центром $$(-2,0)$$ и радиусом $$1$$.
$$|x|+2=\sqrt{1-y^2}$$
Тогда
$$|x|=\sqrt{1-y^2}-2$$
Но $$\sqrt{1-y^2}\le 1$$, значит правая часть не превосходит $$-1$$, а левая неотрицательна. Противоречие.
Следовательно, решений нет, график — пустое множество.
$$x=\sqrt{4y-y^2}$$
Так как $$x\ge 0$$, возведём в квадрат:
$$x^2=4y-y^2$$
$$x^2+y^2-4y=0$$
$$x^2+(y-2)^2=4$$
Это правая полуокружность окружности с центром $$(0,2)$$ и радиусом $$2$$.
$$x=\sqrt{4|y|-y^2}$$
Рассмотрим два случая.
1) $$y\ge 0$$. Тогда $$|y|=y$$, и
$$x=\sqrt{4y-y^2}$$
$$x^2+(y-2)^2=4$$
Это правая полуокружность окружности с центром $$(0,2)$$ и радиусом $$2$$.
2) $$y<0$$. Тогда $$|y|=-y$$, и
$$x=\sqrt{-4y-y^2}$$
$$x^2+y^2+4y=0$$
$$x^2+(y+2)^2=4$$
Это правая полуокружность окружности с центром $$(0,-2)$$ и радиусом $$2$$.
Итак, график состоит из двух правых полуокружностей.
Ответ
1) $$x^2+y^2=1$$, правая полуокружность; 2) $$x^2+y^2=1$$; 3) $$(x+2)^2+y^2=1$$; 4) решений нет; 5) $$x^2+(y-2)^2=4$$, правая полуокружность; 6) две правые полуокружности окружностей $$x^2+(y-2)^2=4$$ и $$x^2+(y+2)^2=4$$.
