Упр.10.1 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) x^2-8x+y^2+4y+20=0; 3) v(y-1)=v(-x^2 (x-1)^2);
2) 5x^2-2xy+y^2-4x+1=0; 4) y^2=v(1-x^2)-1.

1. $$x^2-8x+y^2+4y+20=0$$
   $$\left(x^2-8x+16\right)+\left(y^2+4y+4\right)=0$$
   $$\left(x-4\right)^2+\left(y+2\right)^2=0$$

   Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:
   $$x-4=0,\quad y+2=0$$
   $$x=4,\quad y=-2$$

2. $$5x^2-2xy+y^2-4x+1=0$$
   $$\left(4x^2-4x+1\right)+\left(x^2-2xy+y^2\right)=0$$
   $$\left(2x-1\right)^2+\left(x-y\right)^2=0$$

   Тогда
   $$2x-1=0,\quad x-y=0$$
   $$x=\frac12,\quad y=\frac12$$

3. $$\sqrt{y-1}=\sqrt{-x^2(x-1)^2}$$

   Подкоренные выражения неотрицательны, значит
   $$-x^2(x-1)^2\ge 0$$
   Но так как $$x^2(x-1)^2\ge 0,$$ то возможно только
   $$-x^2(x-1)^2=0$$
   откуда
   $$x(x-1)=0$$
   $$x=0 \text{ или } x=1$$

   Тогда
   $$y-1=0$$
   $$y=1$$

4. $$y^2=\sqrt{1-x^2}-1$$
   $$y^2+1=\sqrt{1-x^2}$$

   Так как правая часть неотрицательна, то
   $$1-x^2\ge 0$$
   Возведём в квадрат:
   $$\left(y^2+1\right)^2=1-x^2$$

   Но левая часть не меньше $$1,$$ значит возможно только
   $$y^2+1=1$$
   $$y=0$$
   Тогда
   $$\sqrt{1-x^2}=1$$
   $$1-x^2=1$$
   $$x=0$$

Ответ

1) $$\left(4;\,-2\right)$$; 2) $$\left(\frac12;\,\frac12\right)$$; 3) $$\left(0;\,1\right),\ \left(1;\,1\right)$$; 4) $$\left(0;\,0\right)$$.