Упр.1.48 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 1.48. Дана функция f(x)=x^2-x+1. Решите уравнение f(f(x))=x.

Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2-x+1.$$

Заметим, что

$$f(x)-x=x^2-2x+1=(x-1)^2\ge 0,$$

значит, для любого $$x$$ верно неравенство $$f(x)\ge x.$$

Тогда, применяя функцию $$f$$ к обеим частям, получаем

$$f(f(x))\ge f(x)\ge x.$$

Чтобы выполнялось равенство $$f(f(x))=x,$$ нужно, чтобы одновременно было

$$f(x)=x.$$

Решим это уравнение:

$$x^2-x+1=x,$$

$$x^2-2x+1=0,$$

$$\left(x-1\right)^2=0,$$

$$x=1.$$

Проверка:

$$f(1)=1^2-1+1=1,$$

значит, $$f(f(1))=f(1)=1.$$

Ответ

$$1$$