Упр.1.47 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 1.47. Дана функция f(x)=x^2+10x+20. Решите уравнение f(f(f(x)))=x. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 merzlyak_polyakov9 1-47 95

Преобразуем функцию:

$$f(x)=x^2+10x+20=(x+5)^2-5.$$

Тогда

$$f(f(x))=f\big((x+5)^2-5\big)=\big((x+5)^2\big)^2-5=(x+5)^4-5,$$

а значит

$$f(f(f(x)))=f\big((x+5)^4-5\big)=\big((x+5)^4\big)^2-5=(x+5)^8-5.$$

Решим уравнение:

$$ (x+5)^8-5=x. $$

Перенесём всё в одну сторону:

$$ (x+5)^8-x-5=0. $$

Сделаем замену:

$$ t=x+5. $$

Тогда $$x=t-5$$, и уравнение принимает вид

$$ t^8-(t-5)-5=0,$$

$$ t^8-t=0,$$

$$ t(t^7-1)=0.$$

Отсюда

$$ t=0 \quad \text{или} \quad t=1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$x+5=0 \Rightarrow x=-5,$$

$$x+5=1 \Rightarrow x=-4.$$

Ответ

$$-5;\,-4.$$