Упр.1.46 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 1.46. Дана функция f(x)=x^2+2x. Решите уравнение f(f(f(x)))=0.

Преобразуем функцию:

$$f(x)=x^2+2x=x^2+2x+1-1=(x+1)^2-1.$$

Тогда

$$f(f(x))=f\big((x+1)^2-1\big)=\left(((x+1)^2-1)+1\right)^2-1=(x+1)^4-1.$$

А значит

$$f(f(f(x)))=f\big((x+1)^4-1\big)=\left(((x+1)^4-1)+1\right)^2-1=(x+1)^8-1.$$

Решаем уравнение:

$$ (x+1)^8-1=0 $$

$$ (x+1)^8=1 $$

Так как степень чётная, получаем:

$$x+1=1 \quad \text{или} \quad x+1=-1.$$

Отсюда:

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=-2.$$

Ответ

$$-2;\ 0.$$