Упр.1.45 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Найдите функцию $$f$$ такую, что $$D(f)=\mathbb{R}$$ и для любого $$x\in\mathbb{R}$$ выполняется равенство $$2f(x)-f(1-x)=x+3$$.

Запишем данное равенство:

$$2f(x)-f(1-x)=x+3.$$

Подставим вместо $$x$$ выражение $$1-x$$:

$$2f(1-x)-f(x)=1-x+3,$$

$$2f(1-x)-f(x)=4-x,$$

$$f(1-x)=\frac12 f(x)-\frac12 x+2.$$

Теперь подставим это выражение в исходное равенство:

$$2f(x)-\left(\frac12 f(x)-\frac12 x+2\right)=x+3,$$

$$\frac32 f(x)+\frac12 x-2=x+3,$$

$$\frac32 f(x)=\frac12 x+5,$$

$$3f(x)=x+10,$$

$$f(x)=\frac{x+10}{3}.$$

Проверка:

$$2\cdot \frac{x+10}{3}-\frac{(1-x)+10}{3}=\frac{2x+20-11+x}{3}=x+3.$$

Ответ

$$f(x)=\frac{x+10}{3}.$$