Упр.1.44 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Найдите функцию $$f$$ такую, что $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$ и для любого $$x\in D(f)$$ выполняется равенство $$f(x)-3f\left(\frac{1}{x}\right)=x+\frac{1}{x}$$.

Пусть $$f(x)=y.$$ Тогда по условию для любого $$x \in D(f)$$ выполняется равенство

$$f(x)-3f\!\left(\frac{1}{x}\right)=x+\frac{1}{x}.$$

Подставим вместо $$x$$ число $$\frac{1}{x}$$:

$$f\!\left(\frac{1}{x}\right)-3f(x)=\frac{1}{x}+x.$$

Выразим отсюда $$f\!\left(\frac{1}{x}\right)$$:

$$f\!\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}+x+3f(x).$$

Теперь подставим это выражение в исходное равенство:

$$f(x)-3\left(\frac{1}{x}+x+3f(x)\right)=x+\frac{1}{x}.$$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$f(x)-\frac{3}{x}-3x-9f(x)=x+\frac{1}{x}$$

$$-8f(x)=4x+\frac{4}{x}.$$

Тогда

$$f(x)=-\frac{x}{2}-\frac{1}{2x}.$$

Проверим:

$$f\!\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{2x}-\frac{x}{2}.$$

Тогда

$$f(x)-3f\!\left(\frac{1}{x}\right)=\left(-\frac{x}{2}-\frac{1}{2x}\right)-3\left(-\frac{1}{2x}-\frac{x}{2}\right)=x+\frac{1}{x}.$$

Ответ

$$f(x)=-\frac{x}{2}-\frac{1}{2x}.$$