Упр.1.43 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 1.43. Найдите функцию f такую, что D(f)=R и для любого x?R выполняется равенство f(x)+2f(-x)=x+1.

Запишем данное равенство для аргумента $$-x$$:

$$f(-x)+2f(x)=-x+1.$$

Выразим из него $$f(-x)$$:

$$f(-x)=1-x-2f(x).$$

Подставим это выражение в исходное равенство:

$$f(x)+2(1-x-2f(x))=x+1.$$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$f(x)+2-2x-4f(x)=x+1,$$

$$-3f(x)=3x-1,$$

$$f(x)=\frac{1}{3}-x.$$

Проверим:

$$f(x)+2f(-x)=\left(\frac{1}{3}-x\right)+2\left(\frac{1}{3}+x\right)=\frac{1}{3}-x+\frac{2}{3}+2x=x+1.$$

Ответ

$$f(x)=\frac{1}{3}-x.$$