Упр.1.42 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 1.42. Дана функция f(x)=1/(1-x). Постройте график функции y=f(f(f(x))).

Найдём композицию функции:

$$f(x)=\frac{1}{1-x}$$

$$f(f(x))=f\!\left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}$$

Упростим знаменатель:

$$1-\frac{1}{1-x}=\frac{1-x-1}{1-x}=\frac{-x}{1-x}$$

Тогда

$$f(f(x))=\frac{1}{\frac{-x}{1-x}}=\frac{1-x}{-x}=\frac{x-1}{x}$$

Теперь найдём третье применение функции:

$$f(f(f(x)))=f\!\left(\frac{x-1}{x}\right)=\frac{1}{1-\frac{x-1}{x}}$$

$$1-\frac{x-1}{x}=\frac{x-(x-1)}{x}=\frac{1}{x}$$

Следовательно,

$$f(f(f(x)))=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x$$

Значит, искомый график — это график функции $$y=x$$, но с учётом ограничений области определения: $$x\ne 0$$ и $$x\ne 1$$.

Итак, это прямая $$y=x$$ с выколотыми точками $$\left(0,0\right)$$ и $$\left(1,1\right)$$.

Ответ

$$y=x,\quad x\ne 0,\; x\ne 1$$