Упр.1.37 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 1.37. Функция задана описательно: каждому целому числу поставлен в соответствие остаток от деления квадрата этого числа на 3. Постройте график этой функции.

Пусть $$x=3n+k,$$ где $$n\in \mathbb{Z},\ k\in\{0;1;2\}.$$ Тогда

$$x^2=(3n+k)^2=9n^2+6nk+k^2=3(3n^2+2nk)+k^2.$$

Значит, остаток от деления $$x^2$$ на $$3$$ зависит только от $$k^2$$:

$$k=0 \Rightarrow k^2\equiv 0 \pmod 3,$$

$$k=1 \Rightarrow k^2\equiv 1 \pmod 3,$$

$$k=2 \Rightarrow k^2=4\equiv 1 \pmod 3.$$

Следовательно, функция принимает значения:

$$y=\begin{cases} 0, & x=3n,\\ 1, & x=3n+1,\\ 1, & x=3n+2, \end{cases}\qquad n\in\mathbb{Z}.$$

График состоит из точек $$\left(3n,0\right)$$ и $$\left(3n+1,1\right),\ \left(3n+2,1\right)$$ при всех целых $$n.$$ Он периодичен с периодом $$3.$$

Ответ

График — множество точек $$\left(3n,0\right),\ \left(3n+1,1\right),\ \left(3n+2,1\right),\ n\in\mathbb{Z},$$ период функции равен $$3.$$