Упр.1.36 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 1.36. Функция задана описательно: каждому целому числу поставлен в соответствие остаток от деления квадрата этого числа на 5. Постройте график этой функции.

Пусть $$x=5n+k,$$ где $$n\in \mathbb{Z},\quad k\in\{0;1;2;3;4\}.$$ Тогда

$$x^2=(5n+k)^2=25n^2+10nk+k^2=5(5n^2+2nk)+k^2.$$

Значит, остаток от деления $$x^2$$ на $$5$$ зависит только от остатка $$k$$ числа $$x$$ при делении на $$5$$.

Найдём все возможные остатки:

Следовательно, функция периодическая с периодом $$5$$ и принимает значения:

$$f(x)= \begin{cases} 0, & x\equiv 0 \pmod 5,\\ 1, & x\equiv 1 \text{ или } 4 \pmod 5,\\ 4, & x\equiv 2 \text{ или } 3 \pmod 5. \end{cases}$$

График состоит из отдельных точек, повторяющихся с периодом $$5$$: $$\ldots,(-6,1),(-5,0),(-4,1),(-3,4),(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4),(3,4),(4,1),(5,0),(6,1),\ldots$$

Ответ

График — множество точек $$\bigl(x,\,x^2 \bmod 5\bigr)$$ при всех целых $$x$$; он периодичен с периодом $$5$$ и задаётся значениями $$0,1,4,4,1$$ на остатках $$0,1,2,3,4$$ соответственно.