Упр.1.25 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) y=5x^2-x+1; 2) y=(2x-1)/(5x+4); 3) y=4x+1/x.

Подробный ответ

$$y=5x^2-x+1$$
Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вверх, так как $$a=5>0$$.
Найдём абсциссу вершины:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2\cdot 5}=\frac{1}{10}$$
Вычислим ординату вершины:
$$y_0=5\left(\frac{1}{10}\right)^2-\frac{1}{10}+1=\frac{5}{100}-\frac{1}{10}+1=\frac{19}{20}$$
Следовательно, наименьшее значение функции равно $$\frac{19}{20}$$, а значит
$$E(y)=\left[\frac{19}{20};+\infty\right).$$
$$y=\frac{2x-1}{5x+4}$$
Преобразуем дробь:
$$\frac{2x-1}{5x+4}=\frac{2}{5}\cdot\frac{5x-\frac{5}{2}}{5x+4}$$
Удобнее найти область значений через уравнение:
$$y=\frac{2x-1}{5x+4}$$
$$y(5x+4)=2x-1$$
$$5yx+4y=2x-1$$
$$x(5y-2)=-(1+4y)$$
Чтобы при некотором $$x$$ существовало решение, нужно, чтобы $$5y-2\neq 0$$, то есть $$y\neq \frac{2}{5}$$.
Проверим, может ли $$y=\frac{2}{5}$$:
$$\frac{2x-1}{5x+4}=\frac{2}{5}$$
$$5(2x-1)=2(5x+4)$$
$$10x-5=10x+8$$
Получаем противоречие, значит $$y=\frac{2}{5}$$ не принимает.
Следовательно,
$$E(y)=(-\infty;\frac{2}{5})\cup(\frac{2}{5};+\infty).$$
$$y=4x+\frac{1}{x}$$
Область определения: $$x\neq 0$$.
Пусть $$y=a$$. Тогда
$$4x+\frac{1}{x}=a$$
Умножим на $$x$$:
$$4x^2+1=ax$$
$$4x^2-ax+1=0$$
Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Чтобы оно имело действительные решения, дискриминант должен быть неотрицательным:
$$D=a^2-4\cdot 4\cdot 1=a^2-16\ge 0$$
$$a^2\ge 16$$
$$a\le -4 \quad \text{или} \quad a\ge 4$$
Значит,
$$E(y)=(-\infty;-4]\cup[4;+\infty).$$