Упр.1.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) y=-2x^2+3x-4; 2) y=(3x+1)/(2x+3); 3) y=x/(x^2-1).

Подробный ответ

$$y=-2x^2+3x-4$$
Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вниз, так как $$a=-2<0$$. Значит, наибольшее значение достигается в вершине.
Найдём абсциссу вершины:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2\cdot(-2)}=\frac{3}{4}$$
Найдём ординату вершины:
$$y_0=-2\left(\frac{3}{4}\right)^2+3\cdot\frac{3}{4}-4=-\frac{18}{16}+\frac{9}{4}-4=-\frac{23}{8}$$
Следовательно, область значений функции:
$$E(y)=(-\infty;\,-\frac{23}{8}]$$
$$y=\frac{3x+1}{2x+3}$$
Преобразуем дробь:
$$\frac{3x+1}{2x+3}=\frac{1}{2}\cdot\frac{6x+2}{2x+3}=\frac{1}{2}\cdot\frac{6x+9-7}{2x+3}=\frac{3}{2}-\frac{7}{2x+3}$$
Так как $$\frac{7}{2x+3}\neq 0$$ при любых допустимых $$x$$, то значение $$y=\frac{3}{2}$$ функция не принимает.
Следовательно, область значений:
$$E(y)=(-\infty;\,\frac{3}{2})\cup(\frac{3}{2};\,+\infty)$$
$$y=\frac{x}{x^2-1}$$
Пусть $$y=a$$ — значение функции. Тогда
$$\frac{x}{x^2-1}=a$$
$$x=a(x^2-1)$$
$$ax^2-x-a=0$$
Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Для существования действительных решений его дискриминант должен быть неотрицателен:
$$D=(-1)^2-4\cdot a\cdot(-a)=1+4a^2$$
Так как $$1+4a^2>0$$ при любом $$a\in\mathbb{R}$$, то для каждого действительного $$a$$ найдётся соответствующее значение $$x$$.
Значит, область значений функции:
$$E(y)=(-\infty;\,+\infty)$$