Упр.1.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Функция $$g$$ задана описательно: каждому целому числу поставлен в соответствие остаток от деления этого числа на 4. Найдите $$g(3)$$, $$g(0)$$, $$g(-21)$$, $$g(32)$$. Найдите $$E(g)$$. Докажите, что $$g(x)=g(x+4)$$ для любого $$x\in\mathbb{Z}$$.

Так как функция g каждому целому числу ставит в соответствие остаток от деления этого числа на 4, то значения функции — это числа от 0 до 3.

Найдём значения:

$$3=0\cdot 4+3 \Rightarrow g(3)=3,$$
$$0=0\cdot 4+0 \Rightarrow g(0)=0,$$
$$-21=-6\cdot 4+3 \Rightarrow g(-21)=3,$$
$$32=8\cdot 4+0 \Rightarrow g(32)=0.$$

Следовательно, область значений функции:

$$E(g)=\{0;1;2;3\}.$$

Докажем, что $$g(x)=g(x+4)$$ для любого целого $$x.$$

Пусть $$x=4n+k,$$ где $$n\in \mathbb{Z},\ k\in \{0;1;2;3\}.$$ Тогда

$$g(x)=g(4n+k)=k,$$
$$x+4=4n+k+4=4(n+1)+k,$$
$$g(x+4)=g(4(n+1)+k)=k.$$

Значит, $$g(x)=g(x+4)$$ для любого $$x\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

$$g(3)=3,\quad g(0)=0,\quad g(-21)=3,\quad g(32)=0,$$
$$E(g)=\{0;1;2;3\},\quad g(x)=g(x+4).$$