Упр.1.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Функция $$f$$ задана описательно: каждому целому числу поставлен в соответствие остаток от деления этого числа на 3. Найдите $$f(2)$$, $$f(0)$$, $$f(-17)$$, $$f(21)$$. Найдите $$E(f)$$. Докажите, что $$f(x)=f(x+3)$$ для любого $$x\in\mathbb{Z}$$.

Так как функция f каждому целому числу ставит в соответствие остаток от деления этого числа на 3, то возможные значения функции — это числа 0, 1 и 2.

Найдём значения функции:

$$2=3\cdot 0+2 \Rightarrow f(2)=2,$$
$$0=3\cdot 0+0 \Rightarrow f(0)=0,$$
$$-17=3\cdot(-6)+1 \Rightarrow f(-17)=1,$$
$$21=3\cdot 7+0 \Rightarrow f(21)=0.$$

Следовательно,

$$E(f)=\{0;1;2\}.$$

Докажем, что $$f(x)=f(x+3)$$ для любого целого $$x$$. Пусть

$$x=3n+k,$$

где $$n\in \mathbb{Z}$$, а $$k\in \{0;1;2\}$$. Тогда

$$f(x)=f(3n+k)=k.$$

С другой стороны,

$$x+3=3n+k+3=3(n+1)+k,$$

значит,

$$f(x+3)=f(3(n+1)+k)=k.$$

Итак,

$$f(x)=f(x+3).$$

Ответ

$$f(2)=2,\quad f(0)=0,\quad f(-17)=1,\quad f(21)=0,$$
$$E(f)=\{0;1;2\},\quad f(x)=f(x+3)\ \text{для любого}\ x\in \mathbb{Z}.$$