Упр.76 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) f(x)=4/(x-1) убывает на промежутке (1; +бесконечность);
2) f(x)=x^2-2x возрастает на промежутке [1; +бесконечность).

1) Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{4}{x-1}$$ на промежутке $$\left(1;+\infty\right).$$

Пусть $$x_2>x_1>1.$$ Тогда

$$ f(x_2)-f(x_1)=\frac{4}{x_2-1}-\frac{4}{x_1-1} =\frac{4(x_1-1)-4(x_2-1)}{(x_2-1)(x_1-1)} =\frac{4(x_1-x_2)}{(x_2-1)(x_1-1)}. $$

Так как $$x_2>x_1,$$ то $$x_1-x_2<0,$$ а также $$x_2-1>0$$ и $$x_1-1>0.$$ Значит,

$$f(x_2)-f(x_1)<0,$$

то есть $$f(x_2)<f(x_1).$$ Следовательно, функция убывает на промежутке $$\left(1;+\infty\right).$$

2) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2-2x$$ на промежутке $$\left[1;+\infty\right).$$

Пусть $$x_2>x_1\ge 1.$$ Тогда

$$ f(x_2)-f(x_1)=(x_2^2-2x_2)-(x_1^2-2x_1) =(x_2^2-x_1^2)-2(x_2-x_1) $$
$$ =(x_2-x_1)(x_2+x_1)-2(x_2-x_1) =(x_2-x_1)\bigl((x_2+x_1)-2\bigr). $$

Так как $$x_2-x_1>0,$$ а при $$x_1\ge 1$$ и $$x_2>x_1$$ имеем $$x_2+x_1>2,$$ значит $$\bigl((x_2+x_1)-2\bigr)>0.$$ Следовательно,

$$f(x_2)-f(x_1)>0,$$

то есть $$f(x_2)>f(x_1).$$ Значит, функция возрастает на промежутке $$\left[1;+\infty\right).$$

Ответ

1) $$f(x)=\frac{4}{x-1}$$ убывает на $$\left(1;+\infty\right).$$
2) $$f(x)=x^2-2x$$ возрастает на $$\left[1;+\infty\right).$$