Упр.61 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 9 класс, Просвещение: При каких значениях а один из корней уравнения 2х^2 — (3а + 5)х + а^2 + 2а — 3 = 0 меньше 3, а другой — больше 5?

Рассмотрим уравнение

$$2x^2-(3a+5)x+a^2+2a-3=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(3a+5)^2-4\cdot 2\cdot (a^2+2a-3),$$

$$D=9a^2+30a+25-8a^2-16a+24=a^2+14a+49=(a+7)^2.$$

Тогда корни уравнения:

$$x_{1,2}=\frac{3a+5\pm (a+7)}{4}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{3a+5-(a+7)}{4}=\frac{2a-2}{4}=\frac{a-1}{2},$$

$$x_2=\frac{3a+5+(a+7)}{4}=\frac{4a+12}{4}=a+3.$$

По условию один корень меньше $3$, а другой больше $5$. Проверим возможный порядок:

$$\frac{a-1}{2}<3,\qquad a+3>5.$$

Отсюда

$$a-1<6 \Rightarrow a<7,$$

$$a>2.$$

Значит,

$$2<a<7.$$

Проверим второй вариант:

$$\frac{a-1}{2}>5,\qquad a+3<3.$$

Тогда

$$a>11,\qquad a<0,$$

что невозможно.

Ответ

$$a\in(2;7).$$