Упр.61 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 9 класс, Просвещение: 61. При каких значениях а один из корней уравнения 2х^2 — (а + 5)х — а^2 — а + 2 = 0 меньше -3, а другой — больше 2? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 merzlyak_didakt9 var1/61 95

Рассмотрим уравнение

$$2x^2-(a+5)x-a^2-a+2=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(a+5)^2-4\cdot 2\cdot(-a^2-a+2).$$

$$D=a^2+10a+25+8a^2+8a-16=9a^2+18a+9=9(a+1)^2.$$

Тогда корни уравнения:

$$x_{1,2}=\frac{a+5\pm 3(a+1)}{4}.$$

Получаем

$$x_1=\frac{a+5-3a-3}{4}=\frac{-2a+2}{4}=-\frac{a}{2}+\frac12,$$

$$x_2=\frac{a+5+3a+3}{4}=\frac{4a+8}{4}=a+2.$$

По условию один корень меньше $$-3$$, а другой больше $$2$$. Рассмотрим два случая.

1) $$x_1<-3$$ и $$x_2>2$$:

$$-\frac{a}{2}+\frac12<-3 \;\Rightarrow\; -\frac{a}{2}<-\frac72 \;\Rightarrow\; a>7,$$

$$a+2>2 \;\Rightarrow\; a>0.$$

Значит, в этом случае $$a>7$$.

2) $$x_1>2$$ и $$x_2<-3$$:

$$-\frac{a}{2}+\frac12>2 \;\Rightarrow\; -\frac{a}{2}>\frac32 \;\Rightarrow\; a<-3,$$

$$a+2<-3 \;\Rightarrow\; a<-5.$$

Значит, в этом случае $$a<-5$$.

Объединяя оба случая, получаем:

$$a\in(-\infty;-5)\cup(7;+\infty).$$

Ответ

$$a\in(-\infty;-5)\cup(7;+\infty).$$