Упр.60 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 9 класс, Просвещение: При каких значениях а корни уравнения х^2 — (5а — 2)х + + 6а^2 — 4а = 0 принадлежат промежутку [4; 7]? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 merzlyak_didakt9 var2/60 95

Рассмотрим уравнение

$$x^2-(5a-2)x+6a^2-4a=0.$$

Найдём его корни по теореме Виета. Сначала вычислим дискриминант:

$$D=(5a-2)^2-4(6a^2-4a)=25a^2-20a+4-24a^2+16a=(a-2)^2.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{5a-2\pm(a-2)}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{5a-2-(a-2)}{2}=\frac{4a}{2}=2a,$$

$$x_2=\frac{5a-2+(a-2)}{2}=\frac{6a-4}{2}=3a-2.$$

По условию оба корня должны принадлежать промежутку $$[4;7].$$ Значит,

$$4\le 2a\le 7,$$

$$4\le 3a-2\le 7.$$

Из первого неравенства:

$$2\le a\le \frac{7}{2}.$$

Из второго неравенства:

$$6\le 3a\le 9,$$

$$2\le a\le 3.$$

Пересечение полученных промежутков:

$$a\in[2;3].$$

Ответ

$$a\in[2;3].$$