Упр.60 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 9 класс, Просвещение: 60. При каких значениях а корни уравнения х^2 — (3а + 1)х + 2а^2 + 4a — 6 = 0 принадлежат промежутку [2; 9]? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 merzlyak_didakt9 var1/60 95

Рассмотрим уравнение

$$x^2-(3a+1)x+2a^2+4a-6=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(3a+1)^2-4(2a^2+4a-6)$$

$$D=9a^2+6a+1-8a^2-16a+24$$

$$D=a^2-10a+25=(a-5)^2.$$

Тогда корни уравнения:

$$x_{1,2}=\frac{3a+1\pm(a-5)}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{3a+1-(a-5)}{2}=\frac{2a+6}{2}=a+3,$$

$$x_2=\frac{3a+1+(a-5)}{2}=\frac{4a-4}{2}=2a-2.$$

По условию оба корня принадлежат промежутку $$[2;9]$$, значит:

$$2\le a+3\le 9,$$

$$2\le 2a-2\le 9.$$

Из первого неравенства:

$$-1\le a\le 6.$$

Из второго неравенства:

$$4\le 2a\le 11,$$

$$2\le a\le \frac{11}{2}.$$

Пересекаем полученные промежутки:

$$a\in[2;\tfrac{11}{2}].$$

Ответ

$$a\in\left[2;\frac{11}{2}\right].$$