Упр.6 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) (x+1/y)(y+1/x) > =4,если x > 0 и y > 0;
2) (x+1)(y+2)(z+8) > =32vxyz,если x > =0,y > =0 и z > =0;

1) Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$ \left(x+\frac1y\right)\left(y+\frac1x\right)-4 = \frac{xy+1}{y}\cdot \frac{xy+1}{x}-4 = \frac{(xy+1)^2}{xy}-4 $$

$$ = \frac{(xy)^2+2xy+1-4xy}{xy} = \frac{(xy-1)^2}{xy}. $$

Так как $$x>0$$ и $$y>0,$$ то $$xy>0,$$ а значит

$$ \frac{(xy-1)^2}{xy}\ge 0. $$

Следовательно,

$$ \left(x+\frac1y\right)\left(y+\frac1x\right)\ge 4. $$

2) Используем неравенство $$a+b\ge 2\sqrt{ab}$$ для неотрицательных чисел:

$$ x+1\ge 2\sqrt{x},\qquad y+2\ge 2\sqrt{2y},\qquad z+8\ge 2\sqrt{8z}. $$

Перемножим эти неравенства:

$$ (x+1)(y+2)(z+8)\ge 2\sqrt{x}\cdot 2\sqrt{2y}\cdot 2\sqrt{8z}. $$

$$ 2\sqrt{x}\cdot 2\sqrt{2y}\cdot 2\sqrt{8z} = 8\sqrt{16xyz} = 32\sqrt{xyz}. $$

Значит,

$$ (x+1)(y+2)(z+8)\ge 32\sqrt{xyz}. $$

Ответ

$$ 1)\ \left(x+\frac1y\right)\left(y+\frac1x\right)\ge 4; \qquad 2)\ (x+1)(y+2)(z+8)\ge 32\sqrt{xyz}. $$