Упр.6 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) (a+b)(1/a+1/b) > =4,если a > 0 и b > 0;
2) (a+6)(b+3)(c+2) > =48vabc,если a > =0,b > =0 и c > =0;

1) Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$ (a+b)\left(\frac1a+\frac1b\right)-4 =1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1-4 =\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2 =\frac{a^2+b^2-2ab}{ab} =\frac{(a-b)^2}{ab}\ge 0, $$

так как $$a>0$$ и $$b>0$$, значит $$ab>0$$. Следовательно,

$$ (a+b)\left(\frac1a+\frac1b\right)\ge 4. $$

2) Докажем неравенство

$$ (a+6)(b+3)(c+2)\ge 48\sqrt{abc}, \qquad a\ge 0,\ b\ge 0,\ c\ge 0. $$

По неравенству $$x+y\ge 2\sqrt{xy}$$ получаем:

$$ a+6 \ge 2\sqrt{6a}, \qquad b+3 \ge 2\sqrt{3b}, \qquad c+2 \ge 2\sqrt{2c}. $$

Перемножим эти неравенства:

$$ (a+6)(b+3)(c+2)\ge 2\sqrt{6a}\cdot 2\sqrt{3b}\cdot 2\sqrt{2c}. $$

$$ (a+6)(b+3)(c+2)\ge 8\sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot abc} =8\sqrt{36abc} =48\sqrt{abc}. $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

1) $$\,(a+b)\left(\frac1a+\frac1b\right)\ge 4.$$
2) $$\,(a+6)(b+3)(c+2)\ge 48\sqrt{abc}.$$