Контрольная работа 6 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
1. Решите неравенство 7(2х — 3) < = 10х + 19.
2. Постройте график функции у = 5 + 4х - х^2. Пользуясь графиком, найдите:
1) промежуток возрастания функции;
2) множество решений неравенства 5 + 4х - х2 > =0.
3. Решите систему уравнений
x-y=3
х^2 — ху — 2у^2 = 7.
4. Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии (аn), если а5 = -0,8, а11 = -5.
5. Двое рабочих могут вместе выполнить некоторое задание за 4 дня. Если треть задания выполнит первый рабочий, а затем его заменит второй, то всё задание будет выполнено за 10 дней. За сколько дней может выполнить это задание каждый из них самостоятельно?
6. При каких значениях а уравнение х^2 + (а + 5)х + 1 = 0 имеет два различных действительных корня?
7. На четырёх карточках записаны числа 5, 6, 7 и 8. Какова вероятность того, что сумма чисел, записанных на двух наугад выбранных карточках, будет нечётным числом?
$$7(2x-3)\le 10x+19$$
$$14x-21\le 10x+19$$
$$14x-10x\le 19+21$$
$$4x\le 40$$
$$x\le 10$$
$$x\in(-\infty;10]$$
$$y=5+4x-x^2$$
Найдём вершину параболы:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2$$
$$y_0=5+4\cdot 2-2^2=9$$
Значит, вершина параболы — точка $$\,(2;9)\,$$, ветви направлены вниз.
Функция возрастает на промежутке $$x\in(-\infty;2]$$.
Для неравенства:
$$5+4x-x^2\ge 0$$
$$x^2-4x-5\le 0$$
$$\left(x-5\right)\left(x+1\right)\le 0$$
Отсюда $$x\in[-1;5]$$.
$$\begin{cases}x-y=3,\\ x^2-xy-2y^2=7.\end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$y=x-3$$
Подставим во второе:
$$x^2-x(x-3)-2(x-3)^2=7$$
$$x^2-x^2+3x-2(x^2-6x+9)=7$$
$$3x-2x^2+12x-18=7$$
$$2x^2-15x+25=0$$
$$D=15^2-4\cdot 2\cdot 25=25$$
$$x_1=\frac{15-5}{4}=\frac{5}{2},\qquad x_2=\frac{15+5}{4}=5$$
Тогда:
$$y_1=\frac{5}{2}-3=-\frac{1}{2},\qquad y_2=5-3=2$$
Получаем пары решений: $$\left(\frac{5}{2};-\frac{1}{2}\right)$$ и $$\left(5;2\right)$$.
Пусть $$a_1$$ — первый член, $$d$$ — разность прогрессии.
$$a_5=a_1+4d=-0{,}8$$
$$a_{11}=a_1+10d=-5$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$6d=-4{,}2$$
$$d=-0{,}7$$
$$a_1=-0{,}8-4\cdot(-0{,}7)=2$$
Сумма первых двадцати членов:
$$S_{20}=\frac{20}{2}\left(2a_1+19d\right)$$
$$S_{20}=10\left(2\cdot 2+19\cdot(-0{,}7)\right)=10(4-13{,}3)=-93$$
Пусть первый рабочий выполняет работу за $$x$$ дней, второй — за $$y$$ дней.
Тогда их производительности равны $$\frac{1}{x}$$ и $$\frac{1}{y}$$.
Из условия:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}$$
Если первый выполнит треть работы, а затем второй закончит её за 10 дней, то:
$$\frac{x}{3}+\frac{2y}{3}=10$$
$$x+2y=30$$
Из первого уравнения:
$$x=30-2y$$
Подставим во второе:
$$\frac{1}{30-2y}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}$$
$$4y+4(30-2y)=y(30-2y)$$
$$2y^2-34y+120=0$$
$$y^2-17y+60=0$$
$$D=17^2-4\cdot 60=49$$
$$y_1=\frac{17-7}{2}=5,\qquad y_2=\frac{17+7}{2}=12$$
Тогда:
$$x_1=30-2\cdot 5=20,\qquad x_2=30-2\cdot 12=6$$
Значит, первый рабочий может выполнить работу за $$20$$ дней или $$6$$ дней, второй — за $$5$$ дней или $$12$$ дней.
$$x^2+(a+5)x+1=0$$
Чтобы уравнение имело два различных действительных корня, нужно:
$$D>0$$
$$D=(a+5)^2-4=a^2+10a+21$$
$$a^2+10a+21>0$$
$$\left(a+7\right)\left(a+3\right)>0$$
Отсюда:
$$a<-7 \text{ или } a>-3$$
Всего пар карточек:
$$C_4^2=6$$
Сумма будет нечётной, если выбрать одну чётную и одну нечётную карточку. Чётные числа: $$6,8$$, нечётные: $$5,7$$.
Число благоприятных пар:
$$2\cdot 2=4$$
Тогда вероятность:
$$P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$
Ответ
1) $$x\in(-\infty;10]$$; 2) $$x\in(-\infty;2]$$, $$x\in[-1;5]$$; 3) $$\left(\frac{5}{2};-\frac{1}{2}\right)$$, $$\left(5;2\right)$$; 4) $$-93$$; 5) $$20$$ дней и $$5$$ дней или $$6$$ дней и $$12$$ дней; 6) $$a\in(-\infty;-7)\cup(-3;+\infty)$$; 7) $$\frac{2}{3}$$.
