Упр.57 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) |x+4|+2x > =7;
2) |x-3|-2x < 9; 3) |x+5|+|x-3| < =8; 4) |x+4|+|x-2| > 6;
5) |x+3,5|-|x-2,5| < =5; 6) |4x+3|-|х-2| > 3;

1. $$|x+4|+2x\ge 7$$

   Рассмотрим случаи.

   1) Если $$x\ge -4,$$ то

   $$x+4+2x\ge 7$$
   $$3x\ge 3$$
   $$x\ge 1.$$

   2) Если $$x<-4,$$ то

   $$-(x+4)+2x\ge 7$$
   $$x-4\ge 7$$
   $$x\ge 11,$$
   что невозможно при $$x<-4.$$

   Значит, $$x\ge 1.$$

2. $$|x-3|-2x<9$$

   1) Если $$x\ge 3,$$ то

   $$x-3-2x<9$$
   $$-x<12$$
   $$x>-12.$$

   С учётом $$x\ge 3$$ получаем $$x\in[3;+\infty).$$

   2) Если $$x<3,$$ то

   $$-(x-3)-2x<9$$
   $$-3x+3<9$$
   $$-3x<6$$
   $$x>-2.$$

   Тогда $$x\in(-2;3).$$

   Итак, $$x\in(-2;+\infty).$$

3. $$|x+5|+|x-3|\le 8$$

   1) Если $$x\ge 3,$$ то

   $$x+5+x-3\le 8$$
   $$2x\le 6$$
   $$x\le 3.$$

   Значит, $$x=3.$$

   2) Если $$-5\le x<3,$$ то

   $$x+5-(x-3)\le 8$$
   $$8\le 8,$$
   что верно при всех таких $$x.$$

   3) Если $$x<-5,$$ то

   $$-(x+5)-(x-3)\le 8$$
   $$-2x-2\le 8$$
   $$x\ge -5,$$
   что невозможно при $$x<-5.$$

   Итак, $$x\in[-5;3].$$

4. $$|x+4|+|x-2|>6$$

   1) Если $$x\ge 2,$$ то

   $$x+4+x-2>6$$
   $$2x+2>6$$
   $$x>2.$$

   2) Если $$-4\le x<2,$$ то

   $$x+4-(x-2)>6$$
   $$6>6,$$
   что неверно.

   3) Если $$x<-4,$$ то

   $$-(x+4)-(x-2)>6$$
   $$-2x-2>6$$
   $$-2x>8$$
   $$x<-4.$$

   Значит, $$x\in(-\infty;-4)\cup(2;+\infty).$$

5. $$|x+3{,}5|-|x-2{,}5|\le 5$$

   1) Если $$x\ge 2{,}5,$$ то

   $$x+3{,}5-(x-2{,}5)\le 5$$
   $$6\le 5,$$
   что неверно.

   2) Если $$-3{,}5\le x<2{,}5,$$ то

   $$x+3{,}5-(2{,}5-x)\le 5$$
   $$2x+1\le 5$$
   $$x\le 2.$$

   Получаем $$x\in[-3{,}5;2].$$

   3) Если $$x<-3{,}5,$$ то

   $$-(x+3{,}5)-(2{,}5-x)\le 5$$
   $$-6\le 5,$$
   что верно при всех таких $$x.$$

   Итак, $$x\in(-\infty;2].$$

6. $$|4x+3|-|x-2|>3$$

   1) Если $$x\ge 2,$$ то

   $$4x+3-(x-2)>3$$
   $$3x+5>3$$
   $$3x>-2$$
   $$x>-\frac23.$$

   С учётом $$x\ge 2$$ получаем все $$x\ge 2.$$

   2) Если $$-\frac34\le x<2,$$ то

   $$4x+3+(x-2)>3$$
   $$5x+1>3$$
   $$5x>2$$
   $$x>0{,}4.$$

   Значит, $$x\in(0{,}4;2).$$

   3) Если $$x<-\frac34,$$ то

   $$-(4x+3)+(x-2)>3$$
   $$-3x-5>3$$
   $$-3x>8$$
   $$x<-\frac83.$$

   Итак, $$x\in(-\infty;-\frac83)\cup(0{,}4;+\infty).$$

Ответ

1) $$x\in[1;+\infty)$$; 2) $$x\in(-2;+\infty)$$; 3) $$x\in[-5;3]$$; 4) $$x\in(-\infty;-4)\cup(2;+\infty)$$; 5) $$x\in(-\infty;2]$$; 6) $$x\in(-\infty;-\frac83)\cup(0{,}4;+\infty)$$.