Упр.57 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) |х + 2| + Зх > 5; 4) |х + 3| + |х — 4| > 6;
2) |х — б| — 7х < 18; 5) |х + 2,5| - |х - 1,5| < 3; 3) |х +1| + |х -1| < 6 6) |3х + 8| - |2х - 7| > 4.

1. $$|x+2|+3x\ge 5$$
   
   Рассмотрим случаи:
   
   $$x\ge -2:\quad x+2+3x\ge 5$$
   $$4x\ge 3$$
   $$x\ge 0{,}75$$
   
   $$x<-2:\quad -(x+2)+3x\ge 5$$
   $$2x-2\ge 5$$
   $$x\ge 3{,}5$$
   
   С учётом условия $$x<-2$$ решений нет. Значит,
   $$x\in[0{,}75;+\infty).$$
2. $$|x-6|-7x<18$$
   
   Рассмотрим случаи:
   
   $$x\ge 6:\quad x-6-7x<18$$
   $$-6x<24$$
   $$x>-4$$
   
   $$x<6:\quad -(x-6)-7x<18$$
   $$-8x+6<18$$
   $$-8x<12$$
   $$x>-1{,}5$$
   
   Объединяя с условиями случаев, получаем:
   $$x\in(-1{,}5;+\infty).$$
3. $$|x+1|+|x-1|\le 2$$
   
   Рассмотрим случаи:
   
   $$x\ge 1:\quad (x+1)+(x-1)\le 2$$
   $$2x\le 2$$
   $$x\le 1$$
   
   $$-1\le x<1:\quad (x+1)-(x-1)\le 2$$
   $$2\le 2$$
   
   $$x<-1:\quad -(x+1)-(x-1)\le 2$$
   $$-2x\le 2$$
   $$x\ge -1$$
   
   Следовательно,
   $$x\in[-1;1].$$
4. $$|x+3|+|x-4|>6$$
   
   Рассмотрим случаи:
   
   $$x\ge 4:\quad (x+3)+(x-4)>6$$
   $$2x-1>6$$
   $$x>3{,}5$$
   
   $$-3\le x<4:\quad (x+3)-(x-4)>6$$
   $$7>6$$
   
   $$x<-3:\quad -(x+3)-(x-4)>6$$
   $$-2x+1>6$$
   $$x<-2{,}5$$
   
   Значит,
   $$x\in(-\infty;+\infty).$$
5. $$|x+2{,}5|-|x-1{,}5|\le 3$$
   
   Рассмотрим случаи:
   
   $$x\ge 1{,}5:\quad (x+2{,}5)-(x-1{,}5)\le 3$$
   $$4\le 3$$
   
   $$-2{,}5\le x<1{,}5:\quad (x+2{,}5)-(1{,}5-x)\le 3$$
   $$2x+1\le 3$$
   $$x\le 1$$
   
   $$x<-2{,}5:\quad -(x+2{,}5)+(-(x-1{,}5))\le 3$$
   $$-4\le 3$$
   
   Следовательно,
   $$x\in(-\infty;1].$$
6. $$|3x+8|-|2x-7|>4$$
   
   Рассмотрим случаи:
   
   $$x\ge 3{,}5:\quad (3x+8)-(2x-7)>4$$
   $$x+15>4$$
   $$x>-11$$
   
   $$-2\tfrac{2}{3}\le x<3{,}5:\quad (3x+8)+(2x-7)>4$$
   $$5x+1>4$$
   $$5x>3$$
   $$x>0{,}6$$
   
   $$x<-2\tfrac{2}{3}:\quad -(3x+8)+(2x-7)>4$$
   $$-x-15>4$$
   $$x<-19$$
   
   Итак,
   $$x\in(-\infty;-19)\cup(0{,}6;+\infty).$$

Ответ

1) $$x\in[0{,}75;+\infty)$$;
2) $$x\in(-1{,}5;+\infty)$$;
3) $$x\in[-1;1]$$;
4) $$x\in(-\infty;+\infty)$$;
5) $$x\in(-\infty;1]$$;
6) $$x\in(-\infty;-19)\cup(0{,}6;+\infty)$$.