Упр.56 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Решите уравнение:
1) |x|+|x-3|=4;
2) |x-2|+|x+3|=5;
3) |x|-|x-3|=4;
4) |2x-6|-|x+4|=4x+10;

Подробный ответ

$$|x|+|x-3|=4$$
Рассмотрим промежутки, на которых выражения под модулями имеют постоянные знаки.
1) Если $$x \ge 3$$, то
$$x+(x-3)=4$$
$$2x-3=4$$
$$2x=7$$
$$x=3{,}5$$
2) Если $$0 \le x < 3$$, то
$$x-(x-3)=4$$
$$3=4$$
Решений нет.
3) Если $$x<0$$, то
$$-x-(x-3)=4$$
$$-2x+3=4$$
$$-2x=1$$
$$x=-0{,}5$$
Ответ: $$x=-0{,}5$$ и $$x=3{,}5$$.
$$|x-2|+|x+3|=5$$
Рассмотрим промежутки.
1) Если $$x \ge 2$$, то
$$ (x-2)+(x+3)=5 $$
$$2x+1=5$$
$$2x=4$$
$$x=2$$
2) Если $$-3 \le x < 2$$, то
$$-(x-2)+(x+3)=5$$
$$5=5$$
Это верно при любом $$x$$ из данного промежутка.
3) Если $$x<-3$$, то
$$-(x-2)-(x+3)=5$$
$$-2x-1=5$$
$$-2x=6$$
$$x=-3$$
Итак, $$x \in [-3;2]$$.
$$|x|-|x-3|=4$$
Рассмотрим промежутки.
1) Если $$x \ge 3$$, то
$$x-(x-3)=4$$
$$3=4$$
Решений нет.
2) Если $$0 \le x < 3$$, то
$$x-(3-x)=4$$
$$2x-3=4$$
$$2x=7$$
$$x=3{,}5$$
Но это не принадлежит промежутку $$0 \le x < 3$$.
3) Если $$x<0$$, то
$$-x-(3-x)=4$$
$$-3=4$$
Решений нет.
Корней нет.
$$|2x-6|-|x+4|=4x+10$$
Рассмотрим промежутки.
1) Если $$x \ge 3$$, то
$$ (2x-6)-(x+4)=4x+10 $$
$$x-10=4x+10$$
$$-3x=20$$
$$x=-\frac{20}{3}$$
Это не подходит, так как $$x \ge 3$$.
2) Если $$-4 \le x < 3$$, то
$$-(2x-6)-(x+4)=4x+10$$
$$-3x+2=4x+10$$
$$-7x=8$$
$$x=-\frac{8}{7}$$
Это значение подходит.
3) Если $$x<-4$$, то
$$-(2x-6)+(x+4)=4x+10$$
$$-x+10=4x+10$$
$$-5x=0$$
$$x=0$$
Это не подходит, так как $$x<-4$$.
Следовательно, $$x=-\frac{8}{7}$$.