Упр.56 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Решите уравнение:
1) |x|+|x-4|=5;
2) |x+1|+|x-3|=4;
3) |x|-|x-5|=6;
4) |2x-3|-|x+2|=4x+5;

Подробный ответ

$$|x|+|x-4|=5$$
Рассмотрим промежутки, на которых выражения под модулями сохраняют знак.
1) Если $$x \ge 4$$, то
$$x+(x-4)=5$$
$$2x=9$$
$$x=4{,}5.$$
2) Если $$0 \le x < 4$$, то
$$x-(x-4)=5$$
$$4=5,$$
что невозможно.
3) Если $$x<0$$, то
$$-x-(x-4)=5$$
$$-2x+4=5$$
$$-2x=1$$
$$x=-0{,}5.$$
Получаем решения: $$x=-0{,}5$$ и $$x=4{,}5$$.
$$|x+1|+|x-3|=4$$
Рассмотрим промежутки.
1) Если $$x \ge 3$$, то
$$(x+1)+(x-3)=4$$
$$2x-2=4$$
$$2x=6$$
$$x=3.$$
2) Если $$-1 \le x < 3$$, то
$$(x+1)-(x-3)=4$$
$$4=4,$$
то есть подходит любое $$x$$ из этого промежутка.
3) Если $$x<-1$$, то
$$-(x+1)-(x-3)=4$$
$$-2x+2=4$$
$$-2x=2$$
$$x=-1.$$
Итак, $$x \in [-1;3]$$.
$$|x|-|x-5|=6$$
Рассмотрим промежутки.
1) Если $$x \ge 5$$, то
$$x-(x-5)=6$$
$$5=6,$$
что невозможно.
2) Если $$0 \le x < 5$$, то
$$x+(x-5)=6$$
$$2x=11$$
$$x=5{,}5,$$
но это не принадлежит промежутку $$0 \le x < 5$$.
3) Если $$x<0$$, то
$$-x-(5-x)=6$$
$$-5=6,$$
что невозможно.
Корней нет.
$$|2x-3|-|x+2|=4x+5$$
Найдём точки смены знака:
$$2x-3=0 \Rightarrow x=1{,}5,$$
$$x+2=0 \Rightarrow x=-2.$$
1) Если $$x \ge 1{,}5$$, то
$$(2x-3)-(x+2)=4x+5$$
$$x-5=4x+5$$
$$-3x=10$$
$$x=-\frac{10}{3},$$
но это не подходит.
2) Если $$-2 \le x < 1{,}5$$, то
$$(2x-3)-( -x-2)=4x+5$$
$$3x-1=4x+5$$
$$-x=6$$
$$x=-6,$$
но это не подходит.
3) Если $$x<-2$$, то
$$-(2x-3)-(-x-2)=4x+5$$
$$-x+5=4x+5$$
$$-5x=0$$
$$x=0,$$
но это не подходит.
Корней нет.