Упр.53 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Решить неравенство:
1) (x+2)(x-8) < =0;
2) (x-3)(x-7) > 0;
3) (x-9)/x > 0;
4) (3x-1)/(x+2) < 0;
5) (2x-8)/(x-5) < =0;
6) (6x+2)/(x-8) > =0;
- $$ (x+2)(x-8)\le 0 $$
Нули произведения: $$x=-2$$ и $$x=8$$. Произведение не положительно между корнями, включая их:
$$x\in[-2;8].$$
- $$ (x-3)(x-7)>0 $$
Нули произведения: $$x=3$$ и $$x=7$$. Произведение положительно вне промежутка между корнями:
$$x\in(-\infty;3)\cup(7;+\infty).$$
- $$ \frac{x-9}{x}>0 $$
ОДЗ: $$x\ne 0.$$
Рассмотрим знаки числителя и знаменателя. Дробь положительна, когда они одного знака:
$$x<0 \quad \text{или} \quad x>9.$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;0)\cup(9;+\infty).$$
- $$ \frac{3x-1}{x+2}<0 $$
ОДЗ: $$x\ne -2.$$
Преобразуем числитель:
$$3x-1=3\left(x-\frac13\right).$$
Тогда
$$\frac{3\left(x-\frac13\right)}{x+2}<0.$$
Дробь отрицательна, когда множители разных знаков:
$$-2
- $$ \frac{2x-8}{x-5}\le 0 $$
ОДЗ: $$x\ne 5.$$
Преобразуем:
$$\frac{2(x-4)}{x-5}\le 0.$$
Критические точки: $$x=4$$ и $$x=5.$$
Проверка знаков показывает, что неравенство выполняется на промежутке
$$x\in[4;5).$$
- $$ \frac{6x+2}{x-8}\ge 0 $$
ОДЗ: $$x\ne 8.$$
Преобразуем числитель:
$$6x+2=6\left(x+\frac13\right).$$
Тогда
$$\frac{6\left(x+\frac13\right)}{x-8}\ge 0.$$
Критические точки: $$x=-\frac13$$ и $$x=8.$$
Дробь неотрицательна, когда числитель и знаменатель одного знака, а также при нуле числителя:
$$x\in\left(-\infty;-\frac13\right]\cup(8;+\infty).$$
Ответ
1) $$x\in[-2;8]$$; 2) $$x\in(-\infty;3)\cup(7;+\infty)$$; 3) $$x\in(-\infty;0)\cup(9;+\infty)$$; 4) $$x\in\left(-2;\frac13\right)$$; 5) $$x\in[4;5)$$; 6) $$x\in\left(-\infty;-\frac13\right]\cup(8;+\infty)$$.
