Упр.5 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) a^3 — b^2 > =ab(b-a), если a > =b,
2) m^3-2m^2+m-2 > -0, если m > =2

1) Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$ (a^3-b^3)-ab(b-a)=a^3-b^3-ab^2+a^2b $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ a^3-b^3-ab^2+a^2b=a^2(a+b)-b^2(a+b) $$

$$ =(a^2-b^2)(a+b)=(a-b)(a+b)^2 $$

Так как $$a\ge b$$, то $$a-b\ge 0$$, а $$ (a+b)^2\ge 0$$. Значит,

$$ (a-b)(a+b)^2\ge 0. $$

Следовательно,

$$ a^3-b^3\ge ab(b-a). $$

2) Преобразуем левую часть:

$$ m^3-2m^2+m-2=m^2(m-2)+(m-2) $$

$$ =(m^2+1)(m-2). $$

Так как $$m\ge 2$$, то $$m-2\ge 0$$, а $$m^2+1>0$$. Поэтому

$$ (m^2+1)(m-2)\ge 0. $$

Значит,

$$ m^3-2m^2+m-2\ge 0. $$

Ответ

1) $$a^3-b^3\ge ab(b-a)$$ при $$a\ge b$$;

2) $$m^3-2m^2+m-2\ge 0$$ при $$m\ge 2$$.