Контрольная работа 5 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Найдите шестнадцатый член и сумму тридцати первых членов арифметической прогрессии (an), если a1 = 10 и а2 =6.
2. Найдите шестой член и сумму пяти первых членов геометрической прогрессии (bn), если b1 = -64, а знаменатель q=1/2
3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии -125, 25, -5, … .
4. Найдите номер члена арифметической прогрессии (аn), равного 10,9, если а1 = 8,5, а разность прогрессии d = 0,3.
5. Какие два числа надо вставить между числами 2 и -54, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?
6. При каком значении х значения выражений х + 1, х + 5 и 2х + 4 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.
7. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 8, которые больше 50 и меньше 180.

1. Для арифметической прогрессии $$a_1=10,$$ $$a_2=6.$$

   Найдём разность:

   $$d=a_2-a_1=6-10=-4.$$

   Тогда

   $$a_n=a_1+d(n-1)=10-4(n-1)=14-4n.$$

   Шестнадцатый член:

   $$a_{16}=14-4\cdot 16=14-64=-50.$$

   Сумма первых 30 членов:

   $$S_{30}=\frac{2a_1+d(30-1)}{2}\cdot 30=15(2a_1+29d).$$

   $$S_{30}=15(2\cdot 10+29\cdot(-4))=15(20-116)=15\cdot(-96)=-1440.$$

2. Для геометрической прогрессии $$b_1=-64,$$ $$q=\frac12.$$

   Найдём шестой член:

   $$b_n=b_1q^{n-1},$$

   $$b_6=-64\left(\frac12\right)^5=-64\cdot\frac1{32}=-2.$$

   Сумма первых пяти членов:

   $$S_5=\frac{b_1(q^5-1)}{q-1}=\frac{-64\left(\left(\frac12\right)^5-1\right)}{\frac12-1}=-124.$$

3. Дана геометрическая прогрессия $$-125,\ 25,\ -5,\ldots$$

   Найдём знаменатель:

   $$q=\frac{25}{-125}=-\frac15.$$

   Так как $$|q|<1,$$ сумма бесконечной геометрической прогрессии равна

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{-125}{1-(-\frac15)}=\frac{-125}{\frac65}=-\frac{625}{6}=-104\frac16.$$

4. Для арифметической прогрессии $$a_1=8{,}5,$$ $$d=0{,}3.$$

   $$a_n=a_1+d(n-1)=8{,}5+0{,}3(n-1)=8{,}2+0{,}3n.$$

   Составим уравнение:

   $$10{,}9=8{,}2+0{,}3n.$$

   $$0{,}3n=2{,}7,$$

   $$n=\frac{2{,}7}{0{,}3}=9.$$

5. Пусть между числами $$2$$ и $$-54$$ вставлены два числа, и получилась геометрическая прогрессия:

   $$2,\ x,\ y,\ -54.$$

   Тогда

   $$b_4=b_1q^3,$$

   $$-54=2q^3,$$

   $$q^3=-27,$$

   $$q=-3.$$

   Следовательно, члены прогрессии:

   $$2,\ -6,\ 18,\ -54.$$

6. Пусть последовательные члены геометрической прогрессии равны

   $$x+1,\ x+5,\ 2x+4.$$

   Тогда квадрат среднего члена равен произведению крайних:

   $$ (x+5)^2=(x+1)(2x+4). $$

   $$x^2+10x+25=2x^2+6x+4,$$

   $$x^2-4x-21=0.$$

   $$D=16+84=100,$$

   $$x=\frac{4\pm 10}{2}.$$

   Получаем:

   $$x=-3 \quad \text{или} \quad x=7.$$

   Если $$x=-3,$$ то члены прогрессии:

   $$-2,\ 2,\ -2.$$

   Если $$x=7,$$ то члены прогрессии:

   $$8,\ 12,\ 18.$$

7. Все натуральные числа, кратные 8, образуют прогрессию:

   $$8,\ 16,\ 24,\ldots$$

   Найдём первый и последний подходящие члены:

   $$8n>50 \Rightarrow n>6{,}25 \Rightarrow n=7,$$

   $$8n<180 \Rightarrow n<22{,}5 \Rightarrow n=22.$$

   Тогда нужно найти сумму членов с 7-го по 22-й:

   $$a_7=7\cdot 8=56,$$

   $$a_{22}=22\cdot 8=176.$$

   Количество членов:

   $$22-7+1=16.$$

   Сумма:

   $$S=\frac{a_7+a_{22}}{2}\cdot 16=\frac{56+176}{2}\cdot 16=116\cdot 16=1856.$$

Ответ

1) $$a_{16}=-50,$$ $$S_{30}=-1440.$$
2) $$b_6=-2,$$ $$S_5=-124.$$
3) $$-\frac{625}{6}.$$
4) $$9.$$
5) $$2,\ -6,\ 18,\ -54.$$
6) $$x=-3$$ или $$x=7$$; прогрессии: $$-2,\ 2,\ -2$$ и $$8,\ 12,\ 18.$$
7) $$1856.$$