Контрольная работа 5 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Найдите четырнадцатый член и сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии (аn), если а1 = 2 и a2 = 5.
2. Найдите пятый член и сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии (bn), если Ь1 = 27, а знаменатель q = 1/3 .
3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 28, -14, 7, … .
4. Найдите номер члена арифметической прогрессии (an), равного 7,3, если a1 = 10,3, а разность прогрессии d = -0,5.
5. Какие два числа надо вставить между числами 2,5 и 20, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?
6. При каком значении х значения выражений 2х + 6, х + 7 и х + 4 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.
7. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 6, которые больше 100 и меньше 200.

1. Для арифметической прогрессии $$a_1=2,$$ $$a_2=5.$$

   Найдём разность:

   $$d=a_2-a_1=5-2=3.$$

   Тогда

   $$a_n=a_1+d(n-1)=2+3(n-1)=3n-1.$$

   Четырнадцатый член:

   $$a_{14}=3\cdot 14-1=41.$$

   Сумма первых 20 членов:

   $$S_{20}=\frac{2a_1+d(20-1)}{2}\cdot 20=\frac{2\cdot 2+3\cdot 19}{2}\cdot 20=610.$$

2. Для геометрической прогрессии $$b_1=27,$$ $$q=\frac13.$$

   Пятый член:

   $$b_5=b_1q^{4}=27\left(\frac13\right)^4=\frac13.$$

   Сумма первых 4 членов:

   $$S_4=\frac{b_1(q^4-1)}{q-1}=\frac{27\left(\left(\frac13\right)^4-1\right)}{\frac13-1}=40.$$

3. Сумма бесконечной геометрической прогрессии $$28,\,-14,\,7,\ldots$$

   Здесь $$b_1=28,$$ $$q=\frac{-14}{28}=-\frac12.$$

   Тогда

   $$S_\infty=\frac{b_1}{1-q}=\frac{28}{1-(-\frac12)}=\frac{28}{\frac32}=\frac{56}{3}=18\frac23.$$

4. Для арифметической прогрессии $$a_1=10{,}3,$$ $$d=-0{,}5.$$

   Общий член:

   $$a_n=a_1+d(n-1)=10{,}3-0{,}5(n-1)=10{,}8-0{,}5n.$$

   Приравняем к $$7{,}3$$:

   $$10{,}8-0{,}5n=7{,}3,$$

   $$0{,}5n=3{,}5,$$

   $$n=7.$$

5. Пусть между числами $$2{,}5$$ и $$20$$ нужно вставить два числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия:

   $$2{,}5,\; x,\; y,\; 20.$$

   Тогда

   $$20=2{,}5\cdot q^3,$$

   $$q^3=\frac{20}{2{,}5}=8,$$

   $$q=2.$$

   Следовательно,

   $$x=2{,}5\cdot 2=5,$$

   $$y=5\cdot 2=10.$$

6. Пусть $$2x+6,\; x+7,\; x+4$$ — последовательные члены геометрической прогрессии.

   Тогда квадрат среднего члена равен произведению крайних:

   $$ (x+7)^2=(2x+6)(x+4). $$

   Раскроем скобки:

   $$x^2+14x+49=2x^2+14x+24,$$

   $$x^2=25,$$

   $$x=\pm 5.$$

   Если $$x=-5,$$ то члены прогрессии:

   $$2x+6=-4,\quad x+7=2,\quad x+4=-1.$$

   Если $$x=5,$$ то члены прогрессии:

   $$2x+6=16,\quad x+7=12,\quad x+4=9.$$

7. Все натуральные числа, кратные 6, образуют арифметическую прогрессию:

   $$6,\;12,\;18,\ldots$$

   Найдём первый и последний подходящие члены:

   $$6n>100 \Rightarrow n>16\frac23 \Rightarrow n=17,$$

   $$6n<200 \Rightarrow n<33\frac13 \Rightarrow n=33.$$

   Значит, нужны члены с $$17$$-го по $$33$$-й.

   Их количество:

   $$33-17+1=17.$$

   Первый и последний члены:

   $$a_{17}=17\cdot 6=102,$$

   $$a_{33}=33\cdot 6=198.$$

   Сумма:

   $$S=\frac{a_{17}+a_{33}}{2}\cdot 17=\frac{102+198}{2}\cdot 17=2550.$$

Ответ

1) $$a_{14}=41,$$ $$S_{20}=610.$$
2) $$b_5=\frac13,$$ $$S_4=40.$$
3) $$18\frac23.$$
4) $$7.$$
5) $$5$$ и $$10.$$
6) $$x=-5$$ или $$x=5$$; прогрессии: $$-4,\,2,\,-1$$ и $$16,\,12,\,9.$$
7) $$2550.$$