Упр.4 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) а^2 — 10а + 26 > 0;
2) 6у — 9у^2 — 2 < 0; 3) а(а - 2) > 6(а — 3);
4) х^2 — 4х + у^2 + 2у + 5 > 0;
5) х^2 — 4ху + 5у^2 + 2у + 2 > 0;
6) (a^2+3)/v(a^2+2) > =2

1. $$a^2-10a+26=(a^2-10a+25)+1=(a-5)^2+1>0.$$
   Так как $$\,(a-5)^2\ge 0,$$ то $$\,(a-5)^2+1>0.$$

2. $$6y-9y^2-2=-(9y^2-6y+1)-1=-(3y-1)^2-1<0.$$ Поскольку $$\,(3y-1)^2\ge 0,$$ то $$\,-(3y-1)^2-1<0.$$

3. $$a(a-2)-6(a-3)=a^2-2a-6a+18=a^2-8a+18=(a-4)^2+2>0.$$
   Значит,
   $$a(a-2)>6(a-3).$$

4. $$x^2-4x+y^2+2y+5=(x^2-4x+4)+(y^2+2y+1)= (x-2)^2+(y+1)^2\ge 0.$$
   Следовательно, неравенство верно.

5. $$x^2-4xy+5y^2+2y+2=(x^2-4xy+4y^2)+(y^2+2y+1)+1=(x-2y)^2+(y+1)^2+1>0.$$

6. $$\frac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}=\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+2}}+\frac{1}{\sqrt{a^2+2}}=\sqrt{a^2+2}+\frac{1}{\sqrt{a^2+2}}.$$
   Обозначим $$b=\sqrt{a^2+2}.$$ Тогда $$b>0$$ и нужно доказать, что
   $$b+\frac{1}{b}\ge 2.$$
   Имеем
   $$b+\frac{1}{b}-2=\frac{b^2+1-2b}{b}=\frac{(b-1)^2}{b}\ge 0.$$
   Значит,
   $$\frac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}\ge 2.$$

Ответ

1) $$a^2-10a+26>0$$; 2) $$6y-9y^2-2<0$$; 3) $$a(a-2)>6(a-3)$$; 4) $$x^2-4x+y^2+2y+5\ge 0$$; 5) $$x^2-4xy+5y^2+2y+2>0$$; 6) $$\dfrac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}\ge 2$$.