Упр.4 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) a^2-8a+17 > 0;
2) 6y-9y^2-4 < 0; 3) a(a-10) > 4(a-13);
4) x^2+9y^2+2x+6y+2 > =0;
5) x^2-6xy+10y^2-4y+7 > 0;
6) (x^2+7)/v(x^2+6) > =2;

1. $$a^2-8a+17=(a^2-8a+16)+1=(a-4)^2+1>0.$$
   Так как $$\,(a-4)^2\ge 0,$$ то $$\,(a-4)^2+1>0.$$

2. $$6y-9y^2-4=-(9y^2-6y+1)-3=-(3y-1)^2-3<0.$$ Поскольку $$\,(3y-1)^2\ge 0,$$ то $$\,-(3y-1)^2-3<0.$$

3. Рассмотрим разность левой и правой частей:
   $$a(a-10)-4(a-13)=a^2-10a-4a+52=a^2-14a+52.$$
   Тогда
   $$a^2-14a+52=(a^2-14a+49)+3=(a-7)^2+3>0.$$
   Значит, $$a(a-10)>4(a-13).$$

4. $$x^2+9y^2+2x+6y+2=(x^2+2x+1)+(9y^2+6y+1)= (x+1)^2+(3y+1)^2\ge 0.$$

5. $$x^2-6xy+10y^2-4y+7=(x^2-6xy+9y^2)+(y^2-4y+4)+3=(x-3y)^2+(y-2)^2+3>0.$$

6. $$\frac{x^2+7}{\sqrt{x^2+6}}=\frac{(x^2+6)+1}{\sqrt{x^2+6}}=\sqrt{x^2+6}+\frac{1}{\sqrt{x^2+6}}.$$
   Обозначим $$b=\sqrt{x^2+6}.$$ Тогда $$b>0$$ и нужно доказать, что
   $$b+\frac{1}{b}\ge 2.$$
   Имеем
   $$b+\frac{1}{b}-2=\frac{b^2+1-2b}{b}=\frac{(b-1)^2}{b}\ge 0.$$
   Следовательно,
   $$\frac{x^2+7}{\sqrt{x^2+6}}\ge 2.$$

Ответ

1) $$a^2-8a+17>0$$; 2) $$6y-9y^2-4<0$$; 3) $$a(a-10)>4(a-13)$$; 4) $$x^2+9y^2+2x+6y+2\ge 0$$; 5) $$x^2-6xy+10y^2-4y+7>0$$; 6) $$\dfrac{x^2+7}{\sqrt{x^2+6}}\ge 2$$.