Упр.4 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) a^2-6a+10 > 0;
2) 12y-4y^2-11 < 0; 3) a(a-8) > 2(a-13);
4) x^2+4y^2+6x+4y+10 > =0;
5) x^2-10xy+26y^2+12y+40 > 0;
6) (a^2+5)/v(a^2+4) > =2;

1. $$a^2-6a+10=(a^2-6a+9)+1=(a-3)^2+1>0.$$
   Так как $$\,(a-3)^2\ge 0,$$ то $$\,(a-3)^2+1>0.$$

2. $$12y-4y^2-11=-(4y^2-12y+9)-2=-(2y-3)^2-2<0.$$ Поскольку $$\,(2y-3)^2\ge 0,$$ то $$\,-(2y-3)^2-2<0.$$

3. $$a(a-8)-2(a-13)=a^2-8a-2a+26=a^2-10a+26=(a-5)^2+1>0.$$
   Значит, $$a(a-8)>2(a-13).$$

4. $$x^2+4y^2+6x+4y+10=(x^2+6x+9)+(4y^2+4y+1)= (x+3)^2+(2y+1)^2\ge 0.$$

5. $$x^2-10xy+26y^2+12y+40=(x^2-10xy+25y^2)+(y^2+12y+36)+4$$
   $$=(x-5y)^2+(y+6)^2+4>0.$$

6. $$\frac{a^2+5}{\sqrt{a^2+4}}=\frac{a^2+4}{\sqrt{a^2+4}}+\frac{1}{\sqrt{a^2+4}}=\sqrt{a^2+4}+\frac{1}{\sqrt{a^2+4}}.$$
   Обозначим $$b=\sqrt{a^2+4}.$$ Тогда $$b>0$$ и нужно доказать, что
   $$b+\frac{1}{b}\ge 2.$$
   Рассмотрим разность:
   $$b+\frac{1}{b}-2=\frac{b^2+1-2b}{b}=\frac{(b-1)^2}{b}\ge 0.$$
   Следовательно,
   $$\frac{a^2+5}{\sqrt{a^2+4}}\ge 2.$$

Ответ

1) $$a^2-6a+10>0$$; 2) $$12y-4y^2-11<0$$; 3) $$a(a-8)>2(a-13)$$; 4) $$x^2+4y^2+6x+4y+10\ge 0$$; 5) $$x^2-10xy+26y^2+12y+40>0$$; 6) $$\frac{a^2+5}{\sqrt{a^2+4}}\ge 2$$.