Упр.37 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

1) x^2-3x+5a=0;
2) (a+3) x^2-(2a-1)x+a=0;
3) (a-5) x^2-2(a-6)x+(a-4)=0;
4) x^2+2(a-1)x+(2a^2+4a+10)=0;

Подробный ответ

$$x^2-3x+5a=0$$
Для двух различных действительных корней нужно, чтобы $$D>0$$:
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 5a=9-20a$$
$$9-20a>0$$
$$a<\frac{9}{20}$$
$$\left(a+3\right)x^2-(2a-1)x+a=0$$
Если $$a+3\neq 0$$, то уравнение квадратное. Тогда
$$D=(2a-1)^2-4\left(a+3\right)a$$
$$D=4a^2-4a+1-4a^2-12a=1-16a$$
Для двух различных корней:
$$1-16a>0$$
$$a<\frac{1}{16}$$
Но при $$a=-3$$ уравнение становится линейным, поэтому это значение не подходит.
Итак,
$$a\in(-\infty;-3)\cup\left(-3;\frac{1}{16}\right)$$
$$\left(a-5\right)x^2-2\left(a-6\right)x+\left(a-4\right)=0$$
Если $$a-5\neq 0$$, то
$$D=\left[-2\left(a-6\right)\right]^2-4\left(a-5\right)\left(a-4\right)$$
$$D=4\left(a-6\right)^2-4\left(a-5\right)\left(a-4\right)$$
$$D=4\left(a^2-12a+36\right)-4\left(a^2-9a+20\right)=64-12a$$
Для двух различных корней:
$$64-12a>0$$
$$a<\frac{64}{12}=\frac{16}{3}$$
При $$a=5$$ уравнение становится линейным, поэтому это значение не подходит.
Следовательно,
$$a\in(-\infty;5)\cup\left(5;\frac{16}{3}\right)$$
$$x^2+2\left(a-1\right)x+\left(2a^2+4a+10\right)=0$$
Найдём дискриминант:
$$D=\left[2\left(a-1\right)\right]^2-4\left(2a^2+4a+10\right)$$
$$D=4\left(a-1\right)^2-8a^2-16a-40$$
$$D=4a^2-8a+4-8a^2-16a-40=-4a^2-24a-36$$
$$D=-4\left(a^2+6a+9\right)=-4\left(a+3\right)^2$$
Так как $$\left(a+3\right)^2\ge 0$$, то $$D\le 0$$ при любых $$a$$. Значит, двух различных действительных корней нет ни при каком значении параметра.